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développant dans une série ordonnée par rapport aux puissances de $t$ et de $t',$ $y_{x,x'}$ soit le coefficient de $t^{x}t^{x'}$ dans cette série ; $u$ sera la fonction génératrice de $y_{x,x'}\,;$ $u\left[\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}-\left({\frac {1}{t'}}-1\right)\right]$ sera la fonction génératrice de $\Delta ^{2}y_{x,x'}-\Delta 'y_{x,x'},$ la caractéristique $\Delta$ étant relative à la variable $x,$ et la caractéristique $\Delta '$ à la variable $x'.$ Soit

$\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}-\left({\frac {1}{t'}}-1\right)=z\,;$

on aura

${\frac {1}{t'}}=1+\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}-z,$

ce qui donne

${\begin{aligned}{\frac {u}{t^{'x'}}}=&u[1+\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}-z]^{x'}\\=&u\left\{1+x'\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}+{\frac {x'(x'-1)}{1.2}}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{4}+\ldots \right.\\&\quad \qquad \left.-x'z\left[1+(x'-1)\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}+\ldots \right]+\ldots \right\},\end{aligned}}$

si l’on a

$\Delta ^{2}y_{x,x'}=\Delta 'y_{x,x'},$

l’équation précédente donnera, en repassant des fonctions gératrices aux coefficients,

$y_{x,x'}=y_{x,0}+x'\Delta ^{2}y_{x,0}+{\frac {x'(x'-1)}{1.2}}\Delta ^{4}y_{x,0}+\ldots \,;$

ainsi l’expression de $y_{x,x'}$ ne dépend que de la seule fonction arbitraire $y_{x,0}\,;$ en sorte que, si l’on a toutes les valeurs de $y_{x,0}$ pour toutes les valeurs positives et négatives de $x,$ on aura celles de $y_{x,x'}$ relatives à toutes les valeurs de $x$ et $x'.$ Les intégrations des équations aux différences finies ne sont, à proprement parler, que des éliminations des variables données par une suite d’équations formées suivant une même loi. L’équation précédente aux différences partielles donne

$y_{x,x'+1}=y_{x,x'}+\Delta ^{2}y_{x,x'},$

en faisant $x'=0,$ on aura d’abord

$y_{x,1}=y_{x,0}+\Delta ^{2}y_{x,0},$