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et

${\begin{aligned}\sum &mm'{\frac {(\mathrm {Y'-Y} )(d\mathrm {Z} '-d\mathrm {Z} )-(\mathrm {Z'-Z} )(d\mathrm {Y} '-d\mathrm {Y} )}{dt}}\\&=-c\sin \theta \sin \varphi +c'\ (\sin \psi \cos \varphi -\cos \theta \cos \psi \sin \varphi )\\&\,\qquad \qquad \qquad +c''(\cos \psi \cos \varphi +\cos \theta \sin \psi \sin \varphi ).\end{aligned}}$

Si l’on détermine $\psi$ et $\theta$ de manière que l’on ait

${\begin{aligned}\sin \theta \sin \psi =&{\frac {c''}{\sqrt {c^{2}+c'^{2}+c''^{2}}}},\\\sin \theta \cos \psi =&{\frac {-c'}{\sqrt {c^{2}+c'^{2}+c''^{2}}}},\end{aligned}}$

ce qui donne

$\cos \theta ={\frac {c}{\sqrt {c^{2}+c'^{2}+c''^{2}}}},$

on aura

${\begin{aligned}\sum &mm'{\frac {(\mathrm {X'-X} )(d\mathrm {Y} '-d\mathrm {Y} )-(\mathrm {Y'-Y} )(d\mathrm {X} '-d\mathrm {X} )}{dt}}={\sqrt {c^{2}+c'^{2}+c''^{2}}},\\\\\sum &mm'{\frac {(\mathrm {X'-X} )(d\mathrm {Z} '-d\mathrm {Z} )-(\mathrm {Z'-Z} )(d\mathrm {X} '-d\mathrm {X} )}{dt}}=0,\\\\\sum &mm'{\frac {(\mathrm {Y'-Y} )(d\mathrm {Z} '-d\mathrm {Z} )-(\mathrm {Z'-Z} )(d\mathrm {Y} '-d\mathrm {Y} )}{dt}}=0.\end{aligned}}$

Les valeurs de $c'$ et de $c''$ sont donc nulles relativement au plan des $\mathrm {X}$ et des $\mathrm {Y} ,$ déterminé de cette manière. Il n’existe qu’un seul plan passant par l’origine des coordonnées, qui jouisse de cette propriété ; car, en supposant qu’il soit celui des $x$ et des $y,$ on aura

${\begin{aligned}\sum &mm'{\frac {(\mathrm {X'-X} )(d\mathrm {Z} '-d\mathrm {Z} )-(\mathrm {Z'-Z} )(d\mathrm {X} '-d\mathrm {X} )}{dt}}=c\sin \theta \cos \varphi ,\\\\\sum &mm'{\frac {(\mathrm {Y'-Y} )(d\mathrm {Z} '-d\mathrm {Z} )-(\mathrm {Z'-Z} )(d\mathrm {Y} '-d\mathrm {Y} )}{dt}}=-c\sin \theta \sin \varphi .\end{aligned}}$

En égalant ces deux fonctions à zéro, on aura $\sin \theta =0,$ c’est-à-dire que le plan des $\mathrm {X}$ et des $\mathrm {Y}$ coïncide avec celui des $x$ et des $y.$

La fonction $\sum mm'{\frac {(\mathrm {X'-X} )(d\mathrm {Y} '-d\mathrm {Y} )-(\mathrm {Y'-Y} )(d\mathrm {X} '-d\mathrm {X} )}{dt}}$ étant égale à ${\sqrt {c^{2}+c'^{2}+c''^{2}}},$ quel que soit le plan des $x$ et des $y,$ il en résulte que $c^{2}+c'^{2}+c''^{2}$ est le même, quel que soit ce plan, et que le plan