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La constante $c$ est la même pour tous les plans des $x$ et des $y,$ parallèles entre eux ; elle est indépendante de la position et de l’origine des coordonnées sur ces plans. On peut observer encore que la fonction

$(x'-x)(dy'-dy)-(y'-y)(dx'-dx)$

est le double de l’aire élémentaire décrite par l’un quelconque des deux corps $m$ et $m'$ autour de l’autre et projetée sur le plan des $x$ et des $y.$

On aura pareillement

${\begin{aligned}c'\ =&\sum mm'{\frac {(x'-x)(dz'-dz)-(z'-z)(dx'-dx)}{dt}},\\c''=&\sum mm'{\frac {(y'-y)(dz'-dz)-(z'-z)(dy'-dy)}{dt}},\end{aligned}}$

$c'$ et $c''$ étant deux constantes arbitraires.

Rapportons maintenant les coordonnées $x,y,z$ à trois autres axes perpendiculaires entre eux, comme les premiers, et ayant la même origine. Soient $\mathrm {X,Y,Z}$ les coordonnées de $m,$ rapportées à ces axes. Nommons $\theta$ l’inclinaison du plan des $x$ et des $y$ sur celui des $\mathrm {X}$ et des $\mathrm {Y} \,;$ $\psi$ l’angle que l’intersection de ces deux plans forme avec l’axe des $x,$ et $\varphi$ l’angle que l’axe des $\mathrm {X}$ forme avec cette même intersection ; on aura

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&\quad \ x(\cos \theta \sin \psi \sin \varphi +\cos \psi \cos \varphi )\\&+y(\cos \theta \cos \psi \sin \varphi -\cos \psi \cos \varphi )-z\sin \theta \sin \varphi ,\\\\\mathrm {Y} =&\quad \ x(\cos \theta \sin \psi \cos \varphi -\cos \psi \sin \varphi )\\&+y(\cos \theta \cos \psi \cos \varphi +\sin \psi \sin \varphi )-z\sin \theta \cos \varphi ,\\\\\mathrm {Z} =&x\sin \theta \sin \psi +y\sin \theta \cos \psi +z\cos \theta .\end{aligned}}$

De là il est facile de conclure

${\begin{aligned}\sum &mm'{\frac {(\mathrm {X} '-\mathrm {X} )(d\mathrm {Y} '-d\mathrm {Y} )-(\mathrm {Y} '-\mathrm {Y} )(d\mathrm {X} '-d\mathrm {X} )}{dt}}\\&=c\cos \theta -c'\sin \theta \cos \psi +c''\sin \theta \sin \psi ,\\\\\sum &mm'{\frac {(\mathrm {X} '-\mathrm {X} )(d\mathrm {Z} '-d\mathrm {Z} )-(\mathrm {Z} '-\mathrm {Z} )(d\mathrm {X} '-d\mathrm {X} )}{dt}}\\&=c\sin \theta \cos \varphi +c'\ (\sin \psi \sin \varphi +\cos \theta \cos \psi \cos \varphi )\\&\,\qquad \qquad \qquad +c''(\cos \psi \sin \varphi -\cos \theta \cos \psi \cos \varphi )\end{aligned}}$