ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {dy}{ds}}=\sin \left(\int {\frac {ds}{r}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3973fb574b71e907718f2269cc3b2fe3a97a81b6)
et, par conséquent,
![{\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=\cos \left(\int {\frac {ds}{r}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ad0f8faa2fc9dafdc1ab181e4f3a105699d9a10)
substituant pour
sa valeur
on aura
![{\displaystyle x=\int ds\cos {\frac {s^{2}}{2a^{2}}},\qquad y=\int ds\sin {\frac {s^{2}}{2a^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d3db8509e20ed110c67b5a2934ac5e1f79c9a51)
Euler parvient aux mêmes équations, dans son bel Ouvrage Sur les isopérimètres, page 276 ; mais il ajoute : « Curva ergo erit ex spiralium genere, ita ut infinitis spiris, in certo quodam puncto tanquam centra convolvatur, quod punctum ex hâc constructione invenire difficillimum videtur. » La détermination de ce point se déduit facilement de l’analyse précédente ; car, en faisant
on aura
![{\displaystyle ds=a{\frac {d\varphi }{\sqrt {2\varphi }}}\quad {\text{et}}\quad x=a\int {\frac {d\varphi }{\sqrt {2\varphi }}}\cos \varphi ,\quad y=a\int {\frac {d\varphi \sin \varphi }{\sqrt {2\varphi }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1895e47e5e05307d79ff15b8af008510d1eeca1b)
les intégrales étant prises depuis
nul jusqu’à
infini ; alors on a, par ce qui précède,
![{\displaystyle x=y={\frac {1}{2}}a{\sqrt {\pi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ef1b61580f22ddecd21aaf7966f2bf3f8d5e59e)
On peut généraliser l’analyse précédente, en l’appliquant à l’intégrale
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{\alpha }}}e^{-fx+gx{\sqrt {-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93126f7eab13f28d3c20748e9803e51dea1b587b)
Si l’on fait
![{\displaystyle fx-gx{\sqrt {-1}}=t^{\frac {1}{1-\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82347a611a8f5d7f7f8e1a5d8cca08d745cd939b)
l’intégrale devient
![{\displaystyle \int {\frac {dte^{-t^{\frac {1}{1-\alpha }}}}{(1-\alpha )\left(f-g{\sqrt {-1}}\right)^{1-\alpha }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/322dca4d49d93f16e3f4f34303287d6d232c8784)
en nommant donc, comme ci-dessus,
l’intégrale
prise depuis
nul jusqu’à
infini, et substituant, au lieu de ![{\displaystyle e^{gx{\sqrt {-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ca23ff6763c7954e066f42c65df84dd812e128)