on aura
(6)
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l’intégrale étant prise depuis
nul jusqu’à
infini.
Représentons la fraction
par
![{\displaystyle h\left(\cos \varphi +{\sqrt {-1}}\sin \varphi \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf7dc60744f5134a7735f4fd5bba61e9944c954)
nous aurons
![{\displaystyle f-g{\sqrt {-1}}=h^{\frac {1}{\alpha -1}}\left(\cos {\frac {\varphi }{1-\alpha }}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\varphi }{1-\alpha }}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b76382a7191957343d1886686440ce38efc3a46)
ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}h^{\frac {1}{\alpha -1}}\cos {\frac {\varphi }{1-\alpha }}=&f,\\h^{\frac {1}{\alpha -1}}\sin {\frac {\varphi }{1-\alpha }}=&g,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f50ee6344bf5834aae91b648d635627494ad30e)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {\varphi }{1-\alpha }}={\frac {g}{f}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cab617718abcc841dd3117be645fb9b4c4d1789)
![{\displaystyle h=\left(f^{2}+g^{2}\right)^{\frac {\alpha -1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3796be6fcf7e76e71f7ba7468e26f69d6bd52986)
La première équation donne
![{\displaystyle \varphi =(\mathrm {A} +r\pi )(1-\alpha ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f52ef61825bef8c4c5092123cb11cc4f95bd485)
étant le plus petit angle positif dont
soit la tangente, et
étant un nombre entier, que l’on doit supposer nul, d’après ce qui précède. Cela posé, l’équation (6) donnera les deux suivantes
(7)
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(8)
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On a, en prenant les intégrales depuis
nul jusqu’à
infini,
![{\displaystyle \int {\frac {dxe^{-fx}\cos gx}{x^{\alpha }}}=\int {\frac {f}{g}}{\frac {dxe^{-fx}\sin gx}{x^{\alpha }}}+\int {\frac {\alpha }{g}}{\frac {dxe^{-fx}\sin gx}{x^{\alpha +1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719bf754863a7c6a6f759c001fc0042a51defc5e)