ou
![{\displaystyle \Delta \int {\frac {dx^{(n)}}{1+x^{(n)^{2}}}}=a\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e34104dcef0da5baf0df559ffab4e5f0dd58490)
en l’intégrant, on aura
![{\displaystyle \int {\frac {dx^{(n)}}{1+x^{(n)^{2}}}}=an+b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7734f2cac876870dcd64651d186777d0bffb6f3)
étant la constante arbitraire introduite par l’intégration aux différences finies. L’intégrale
est, comme on sait,
ainsi l’on a
![{\displaystyle x^{(n)}=\operatorname {tang} (an+b).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67dbb7d8c030be7bf0b790212029c1c6dc4480db)
Pour déterminer
supposons
et
tels que
soit nul ; on aura
nul, et
or, l’équation précédente aux différences finies donne, lorsque
est nul,
![{\displaystyle x^{(n+1)}={\frac {1}{\beta }}=\operatorname {tang} a\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08f0e29a692bb18c8d04db857768db5334afff7)
est donc l’angle dont la tangente est
L’arbitraire
est l’angle dont la tangente est ![{\displaystyle x^{(0)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/918089fa319a99651064a1f64f75ed850e45968a)
Considérons maintenant l’équation
![{\displaystyle 0=1-\beta \left(x^{2}+y^{2}\right)+2\gamma xy+x^{2}y^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9a24fb82cc555ba4da3b7c78c0994263a3eba2)
elle donne, en la différenciant,
![{\displaystyle {\frac {dx^{2}}{dy^{2}}}={\frac {\left(x^{2}y-\beta y+\gamma x\right)^{2}}{\left(xy^{2}-\beta x+\gamma y\right)^{2}}}={\frac {y^{2}\left(x^{2}-\beta \right)^{2}+2\gamma xy\left(x^{2}-\beta \right)+\gamma ^{2}x^{2}}{x^{2}\left(y^{2}-\beta \right)^{2}+2\gamma xy\left(y^{2}-\beta \right)+\gamma ^{2}y^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29c32a86b9e28229cf8016e041bc337a2d20d2b9)
Substituant dans le numérateur, pour
sa valeur
et dans le dénominateur, pour
sa valeur
on aura
![{\displaystyle {\frac {dx^{2}}{dy^{2}}}={\frac {1-{\cfrac {1+\beta ^{2}-\gamma ^{2}}{\beta }}x^{2}+x^{4}}{1-{\cfrac {1+\beta ^{2}-\gamma ^{2}}{\beta }}y^{2}+y^{4}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb24cd3202f05f36e6c8859a7b98198e0b5b032)
en faisant donc
![{\displaystyle 2\alpha ={\frac {1+\beta ^{2}-\gamma ^{2}}{\beta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5263beadd0607aa3bf8171d523189c6cde7b0aa8)