et, par conséquent, à l’équation
![{\displaystyle \int dx^{(n+1)}\psi \left(x^{(n+1)}\right)-\int dx^{(n)}\varphi \left(x^{(n)}\right)=a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc4d78be7c60ad6aac5eb9fcd53f418d5af6ec0c)
Cette équation n’est qu’une transformée de la proposée, mais dans laquelle les deux variables sont séparées.
Si, dans la proposée, les deux variables
et
entrent de manière que l’on ait
la transformée deviendra
![{\displaystyle \int dx^{(n+1)}\varphi \left(x^{(n+1)}\right)-\int dx^{(n)}\varphi \left(x^{(n)}\right)=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaed732f7d091b3671919e376fa36d41cd3e3569)
et, en intégrant
![{\displaystyle \int dx^{(n)}\varphi \left(x^{(n)}\right)=an+b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f83de040234c3267d40fa66692f3c7b19c5dae2d)
étant la constante arbitraire introduite par l’intégration ; on aura ainsi
en fonction de
Appliquons cette méthode à quelques exemples.
Considérons d’abord l’équation
![{\displaystyle 0=1-\beta (x-y)+xy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2397168dad1288a963a66a8f5f81462cd5edee23)
ce qui donne
![{\displaystyle \beta ={\frac {1+xy}{x-y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aaa34cac58f687908d44566b8c35f6391966ffa)
en différenciant, on aura
![{\displaystyle {\frac {dx}{1+x^{2}}}-{\frac {dy}{1+y^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daa55712343038dcd3f93a77872dce2ac2c06d25)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}-\int {\frac {dy}{1+y^{2}}}=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd9e6911b6ac57f9aa32c63f2a629b29dee30fb)
étant une constante qui doit être une fonction de
car cette dernière équation n’est qu’une transformée de la proposée. Maintenant, si l’on fait
cette proposée se change dans l’équation aux différences finies,
![{\displaystyle 0=1-\beta \left(x^{(n+1)}-x^{(n)}\right)+x^{(n+1)}x^{(n)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/693f781c1b81bbb67f104cd3428fbda9b0be4d17)
ou
![{\displaystyle 0=1+\left(x^{(n)}-\beta \right)\Delta x^{(n)}+x^{(n)^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1730c372280d5b0197a41147a6dd8fefa77682d8)
Sa transformée devient
![{\displaystyle a=\int {\frac {dx^{(n+1)}}{1+x^{(n+1)^{2}}}}-\int {\frac {dx^{(n)}}{1+x^{(n)^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75b1a198730d884f656feae2f876188fb679897)