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coefficient du carré de l’inconnue, on peut lui donner cette forme,

$x^{2}+px+q=0\,;$

$p$ et $q$ étant des quantités quelconques positives ou négatives. Le premier membre de cette équation devient le carré de $x+{\frac {1}{2}}p,$ en lui ajoutant ${\frac {1}{4}}p^{2}\,;$ on a donc

$\left(x+{\frac {1}{2}}p\right)^{2}={\frac {1}{4}}p^{2}-q\,;$

d’où l’on tire

$x=-{\frac {1}{2}}p\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}p^{2}-q}}.$

Telle est la forme générale des racines des équations du deuxième degré, et vous voyez que ces racines ne peuvent être imaginaires que dans le cas où $q$ est positif, et plus grand que ${\frac {1}{4}}p^{2}.$

En examinant avec attention la raison pour laquelle l’équation du deuxième degré est susceptible de deux valeurs que nous désignerons par $a$ et $b,$ il est facile de reconnaître que la quantité $x^{2}+px+q$ est le produit des deux $x-a$ et $x-b,$ et qu’ainsi l’équation du deuxième degré peut être mise sous la forme

$(x-a)(x-b)=0.$

Alors il est visible que cette équation est également satisfaite par la supposition de $x=a$ et par celle de $x=b.$ Cette manière d’envisager les équations du deuxième degré, étendue aux équations d’un degré quelconque, est la clef de toute la théorie des équations ; il importe donc de la développer et d’en faire sortir les principaux résultats de cette théorie.

Je ne puis ici que tracer la route, en indiquant les vérités les plus remarquables, et en vous laissant le soin de rétablir les vérités intermédiaires et les démonstrations que je suis forcé de supprimer. J’exhorte ceux qui veulent approfondir ces matières à se réunir de temps en temps pour cet objet. Je me ferai un devoir d’assister, le plus souvent qu’il me sera possible, à ces conférences, heureux d’être utile à ceux