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avec celle-ci $a+b=-p,$ on trouve, pour $a$ et $b,$ les deux racines que nous avons données dans la Leçon précédente.

Il est visible que ces deux racines sont réelles on imaginaires, suivant que $p^{2}-4q$ est positif ou négatif. Quand les racines sont réelles, leur signe est le même si $q$ est positif ; enfin, si elles sont de même signe, elles ont un signe contraire à $p.$

En supposant l’équation générale du troisième degré privée, pour plus de simplicité, de son second terme, elle prend la forme

$x^{3}+px+q=0.$

Soient $a,b,c$ ses trois racines et cherchons a priori une fonction de ces racines qui ne dépende que d’une équation du deuxième degré et qui les détermine facilement. La forme la plus simple que l’on puisse supposer à cette fonction est celle-ci : $la+mb+nc\,;$ en y échangeant entre elles les racines $a,b,c,$ on a six combinaisons différentes ; ainsi, l’équation dont cette fonction dépend est du sixième degré. Pour en faire usage, il faut qu’elle soit ré soluble à la manière des équations du deuxième degré, et qu’ainsi le cube de cette fonction ne dépende que d’une équation du deuxième degré. Alors, en nommant $h$ et $h'\,;$ ses deux racines et en désignant par $1,\alpha$ et $\alpha '$ les trois racines cubiques de l’unité, les six valeurs de la fonction proposée seront

$h,\alpha h,\alpha 'h,h',\alpha h',\alpha h'.$

Si l’on prend pour $h$ et $h'$ deux de ces valeurs, telles que $la+mb+nc$ et $lb+ma+nc,$ et si l’on se rappelle que $\alpha '=\alpha ^{2},$ il est facile de voir que les quatre autres valeurs ne peuvent pas être égales à celles-ci multipliées respectivement par $\alpha$ et $\alpha ',$ à moins que les coefficients $l,m$ et $n$ ne soient entre eux comme les racines cubiques de l’unité et, réciproquement, que, si cela a lieu, les six valeurs de $la+mb+nc$ ne seront que les deux précédentes multipliées respectivement par ces racines cubiques. En supposant donc $l,m,n$ égaux à ces racines et représentant par $z$ la fonction $la+mb+nc,$ $z$ sera donné par l’équation

$\left[z^{3}-(a+\alpha b+\alpha 'c)^{3}\right]\left[z^{3}-(\alpha a+b+\alpha 'c)^{3}\right]=0,$