dans laquelle le coefficient de
et le terme indépendant de
seront des fonctions invariables des racines
puisque les six valeurs de la fonction
y entrent de la même manière. C’est, en effet, ce que le calcul confirme a posteriori ; car, si l’on considère que par la nature des racines cubiques de l’unité on a
![{\displaystyle 1+\alpha +\alpha '=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7557d1e47a255ba1c6d692e10545008f18687b9b)
on parvient à la réduite
![{\displaystyle x^{6}+27qz^{3}-27p^{3}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9812a7d382ea3f1aa949e0f98511137b648bd0a7)
Les racines de cette équation sont
![{\displaystyle {\begin{aligned}&3{\sqrt[{3}]{-{\frac {1}{2}}q+{\sqrt {{\frac {1}{4}}q^{2}+{\frac {1}{27}}p^{3}}}}}&3{\sqrt[{3}]{-{\frac {1}{2}}q-{\sqrt {{\frac {1}{4}}q^{2}+{\frac {1}{27}}p^{3}}}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c0947dc92a0040ed85fc628fb94145ed3fe1f9)
en nommant donc
et
ces racines, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}a+\alpha b+\alpha 'c=&z,\\\alpha a+\ \ b+\alpha 'c=&z'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cad6f5d0728e5683d446ade83e6e07975a7d48a)
La condition que le second terme de la proposée est nul donne
![{\displaystyle a+b+c=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad39f896d38fcb4cf07ca6e8a0d4203819df9cb0)
on aura ainsi
![{\displaystyle a={\frac {z+\alpha 'z'}{3}},\qquad b={\frac {\alpha 'z+z'}{3}},\qquad c={\frac {\alpha (z+z')}{3}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5814aca0016f60f2b515b0c20230e24ad8a90051)
et
étant des racines cubiques, ils sont susceptibles chacun de trois valeurs qui donnent neuf valeurs différentes pour les racines
Cette multiplicité de valeurs tient à ce que
et
ne contiennent que le cube de
en sorte que les valeurs précédentes de
résolvent, outre la proposée, les deux équations
![{\displaystyle x^{3}+\alpha px+q=0,\qquad x^{3}+\alpha 'px+q=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/638c58f500d9e50e83d5ddf480c83dfdfb797f67)
elles sont donc les racines de l’équation du neuvième degré, résultante du produit de ces trois équations. Mais, parmi ces racines, il ne faut