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à ${\frac {4}{3}}\pi {\frac {(\rho -1)c^{3}}{r^{2}}}$ placée au centre du sphéroïde, en multipliant cette force par l’élément $-dr$ de sa direction et en l’intégrant ensuite, on aura

${\frac {4}{3}}\pi {\frac {(\rho -1)c^{3}}{r}}=a^{2}{\rm {N}},$

et comme, à la surface, $r=a(1+\alpha y),$ l’équation précédente de l’équilibre deviendra

const.$={\rm {V}}+{\frac {4}{3}}\alpha \pi {\frac {c^{3}}{a}}(1-\rho )y.$

En substituant dans cette équation, au lieu de ${\rm {V}}$, sa valeur donnée par la formule (3) du n^o 11, dans laquelle on mettra pour $r$ sa valeur $as(1+\alpha y),$ et en substituant pour $y$ sa valeur

${\rm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+Y^{(2)}+\ldots ,}}$

on aura

$0=\left[(1-\rho ){\frac {c^{3}}{a^{3}}}+2\right]{\rm {Y}}^{(0)}+(1-\rho ){\frac {c^{3}}{a^{3}}}{\rm {Y}}^{(1)}+\left[(1-\rho ){\frac {c^{3}}{a^{3}}}-{\frac {2}{5}}\right]{\rm {Y}}^{(2)}+\ldots$

$+\left[(1-\rho ){\frac {c^{3}}{a^{3}}}-{\frac {2i-2}{2i+1}}\right]{\rm {Y}}^{(i)}+\ldots ,$

la constante $a$ étant supposée telle que const.$={\frac {4}{3}}\pi a^{2}.$ Cette équation donne ${\rm {Y^{(0)}=0,\ Y^{(1)}=0,\ Y^{(2)}=0,\ldots ,}}$ à moins que le coefficient de l’une de ces quantités, de ${\rm {Y^{(i)}}}$ par exemple, ne soit nul, ce qui donne

$(1-\rho ){\frac {c^{3}}{a^{3}}}={\frac {2i-2}{2i+1}},$

$i$ étant un nombre entier positif, et, dans ce cas, toutes ces quantités sont nulles, excepté ${\rm {Y^{(i)}\,;}}$ on aura donc alors $y={\rm {Y^{(i)},}}$ ce qui est conforme à ce que nous venons de trouver.

On voit ainsi que les résultats obtenus par la réduction de ${\rm {V}}$ en série ont toute la généralité possible, et qu’il n’est point à craindre que quelque figure d’équilibre échappe à l’analyse fondée sur cette réduction, ce qui confirme ce que l’on a vu a priori, par l’analyse du n^o 11,