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dans lequel nous avons prouvé que la forme que nous avons donnée au rayon des sphéroïdes n’est point arbitraire et découle de la nature même de leurs attractions.

29. Reprenons maintenant l’équation (1) du n^o 23. Si l’on y substitue pour ${\rm {V}}$ sa valeur donnée par la formule (6) du n^o 14, on aura, relativement aux différentes couches fluides,

(1)

$\left\{{\begin{aligned}&\int {\frac {d\Pi }{\rho }}=2\pi \int \rho d.a^{2}\\&+4\alpha \pi \int \rho d\left(a^{2}{\rm {Y}}^{(0)}+{\frac {ar}{3}}{\rm {Y}}^{(1)}+{\frac {r^{2}}{5}}{\rm {Y}}^{(2)}+{\frac {r^{3}}{7a}}{\rm {Y}}^{(3)}+\ldots \right)\\\\&+{\frac {4\pi }{3r}}\int \rho d.a^{3}\\&+{\frac {4\alpha \pi }{r}}\int \rho d\left(a^{3}{\rm {Y}}^{(0)}+{\frac {a^{4}}{3r}}{\rm {Y}}^{(1)}+{\frac {a^{5}}{5r^{2}}}{\rm {Y}}^{(2)}+{\frac {a^{6}}{7r^{3}}}{\rm {Y}}^{(3)}+\ldots \right)\\\\&+\alpha r^{2}\left({\rm {Z}}^{(0)}+{\rm {Z}}^{(2)}+r{\rm {Z}}^{(3)}+r^{2}{\rm {Z}}^{(4)}+\ldots \right),\end{aligned}}\right.$

les différentielles et les intégrales étant relatives à la variable $a$ : les deux premières intégrales du second membre de cette équation doivent être prises depuis $a=a$ jusqu’à $a=1,\ a$ étant la valeur de $a$ relative à la couche fluide de niveau que l’on considère, et cette valeur à la surface étant prise pour unité ; les deux dernières intégrales doivent être prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=a$ ; enfin, le rayon $r$ doit être changé en $a(1+\alpha y),$ après toutes les différentiations et les intégrations. Dans les termes multipliés par $\alpha$, il suffira de changer $r$ en $a$ ; mais, dans le terme ${\frac {4\pi }{3r}}\int \rho d.a^{3},$ il faudra substituer $a(1+\alpha y)$ pour $r$, ce qui le change dans celui-ci ${\frac {4\pi }{3a}}(1+\alpha y)\int \rho d.a^{3},$ et par conséquent dans le suivant

${\frac {4\pi }{3a}}\left(1-\alpha {\rm {Y}}^{(0)}-\alpha {\rm {Y}}^{(1)}-\alpha {\rm {Y}}^{(2)}-\ldots \right)\int \rho d.a^{3}.$

Cela posé, si dans l’équation (1) on compare les fonctions semblables, on aura d’abord

$\int {\frac {d\Pi }{\rho }}=2\pi \int \rho d.a^{2}+4\alpha \pi \int \rho d\left(a^{2}{\rm {Y}}^{(0)}\right)+{\frac {4\pi }{3a}}\int \rho d.a^{3}$

$-{\frac {4\alpha \pi }{3a}}{\rm {Y}}^{(0)}\int \rho d.a^{3}+{\frac {4\alpha \pi }{a}}\int \rho d.\left(a^{3}{\rm {Y}}^{(0)}\right)+\alpha a^{2}{\rm {Z}}^{(0)},$