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les deux premières intégrales du second membre de cette équation étant prises depuis $a=a$ jusqu’à $a=1,$ les trois autres intégrales de ce second membre devant être prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=a.$ Cette équation ne déterminant ni $a$ ni ${\rm {Y}}^{(0)},$ mais donnant seulement un rapport entre ces deux quantités, on voit que la valeur de ${\rm {Y}}^{(0)},$ est arbitraire et peut être déterminée à volonté. On aura ensuite, $i$ étant égal ou plus grand que l’unité,

(2)$\qquad 0={\frac {4\pi a^{i}}{2i+1}}\int \rho d{\frac {{\rm {Y}}^{(i)}}{a^{i-2}}}-{\frac {4\pi }{3a}}{\rm {Y}}^{(i)}\int \rho d.a^{3}$

$+{\frac {4\pi }{(2i+1)a^{i+1}}}\int \rho d\left(a^{i+3}{\rm {Y}}^{(i)}+a^{i}{\rm {Z}}^{(i)}\right)$

la première intégrale étant prise depuis $a=a$ jusqu’à $a=1,$ et les deux autres étant prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=a.$ Cette équation donnera la valeur de ${\rm {Y}}^{(i)}$ relative à chaque couche fluide, lorsque la loi des densités $\rho$ sera connue.

Pour réduire ces différentes intégrales dans les mêmes limites, soit

${\frac {4\pi }{2i+1}}\int \rho d{\frac {{\rm {Y}}^{(i)}}{a^{i-2}}}+{\rm {Z}}^{(i)}={\frac {4\pi }{2i+1}}{\rm {Z'}}^{(i)},$

l’intégrale étant prise depuis $a=0$ jusqu’à $a=1\,;\ {\rm {Z'}}^{(i)}$ sera une quantité indépendante de $a,$ et l’équation (2) deviendra

$0=(2i+1)a^{i}{\rm {Y}}^{(i)}\int \rho d.a^{3}+3a^{2i+1}\int \rho d{\frac {{\rm {Y}}^{(i)}}{a^{i-2}}}-3\int \rho d\left(a^{i+3}{\rm {Y}}^{(i)}\right)$

$-3a^{2i+1}{\rm {Z}}^{(i)},$

toutes les intégrales étant prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=a.$

On pourra faire disparaître les signes d’intégration par des différentiations relatives à $a,$ et l’on aura l’équation différentielle du second ordre

${\frac {\partial ^{2}{\rm {Y}}^{(i)}}{\partial a^{2}}}=\left({\frac {i(i+1)}{a^{2}}}-{\frac {6\rho a}{\int \rho d.a^{3}}}\right){\rm {Y}}^{(i)}-{\frac {6\rho a^{2}}{\int \rho d.a^{3}}}{\frac {\partial {\rm {Y}}^{(i)}}{\partial a}}.$

L’intégrale de cette équation donnera la valeur de ${\rm {Y}}^{(i)}$ avec deux constantes arbitraires ; ces constantes sont des fonctions rationnelles et entières, de l’ordre $i,$ de $\mu ,{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,$ telles qu’eu les représentant par ${\rm {U}}^{(i)},$ elles satisfont à l’équation aux différences