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peut l’exprimer fort simplement de cette manière. Reprenons l’équation (5) du n^o 14 ; on en fera disparaître les signes d’intégration au moyen de l’équation (2) du n^o 29, qui donne, à la surface du sphéroïde,

${\frac {4\pi }{2i+1}}\int \rho d\left(a^{i+3}{\rm {Y}}^{(i)}\right)={\frac {4\pi }{3}}{\rm {Y}}^{(i)}\int \rho d.a^{3}-{\rm {Z}}^{(i)}\,;$

ainsi, en fixant l’origine des rayons $r$ au centre de gravité du sphéroïde, ce qui fait disparaître ${\rm {Y}}^{(1)}\,;$ en observant ensuite que ${\rm {Z}}^{(1)}$ est nul, et que, ${\rm {Y}}^{(0)}$ étant arbitraire, on peut supposer ${\frac {4\pi }{3}}{\rm {Y}}^{(0)}-{\rm {Z}}^{(0)}=0,$ l’équation (5) du n^o 14 donnera

${\rm {V}}={\frac {4\pi }{3r}}\int \rho d.a^{3}+{\frac {4\alpha \pi }{3r^{3}}}\left({{\rm {Y}}^{(2)}}+{\frac {{\rm {Y}}^{(3)}}{r}}+{\frac {{\rm {Y}}^{(4)}}{r}}+\ldots \right)\int \rho d.a^{3}$

$-{\frac {\alpha }{r^{3}}}\left({{\rm {Z}}^{(2)}}+{\frac {{\rm {Z}}^{(3)}}{r}}+{\frac {{\rm {Z}}^{(4)}}{r}}+\ldots \right),$

expression dans laquelle on doit observer que ${\frac {4\pi }{3r}}\int \rho d.a^{3}$ exprime la masse du sphéroïde, puisque, dans le cas de $r$ infini, la valeur de {\rm V} est égale à la masse du sphéroïde divisée par $r.$ Cela posé, l’attraction du sphéroïde parallèlement à $r$ sera $-{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial r}}\,;$ l’attraction perpendiculaire à ce rayon, dans le plan du méridien, sera $-{\frac {\sqrt {1-\mu ^{2}}}{r}}{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial \mu }}\,;$ enfin l’attraction perpendiculaire à ce même rayon dans le sens du parallèle sera $-{\frac {\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial \varpi }}{r{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}}.$ L’expression de ${\rm {V}}$ devient, relativement à la Terre supposée elliptique,

${\rm {V}}={\frac {\rm {M}}{r}}+{\frac {{\frac {1}{2}}\alpha \varphi -\alpha h}{r^{2}}}{\rm {M}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right),$

${\rm {M}}$ étant la masse de la Terre.

36. Quoique la loi de l’attraction en raison inverse du carré de la distance soit la seule qui nous intéresse, cependant l’équation (1) du n^o 10 offre une détermination si simple de la pesanteur à la surface des sphéroïdes homogènes en équilibre, quel que soit l’exposant de la