Nommons
le rayon mené du centre de la Terre à sa surface ;
l’angle que ce rayon fait avec l’axe de rotation, que nous supposerons être celui des
et
l’angle que le plan formé par cet axe et par
fait avec le plan des
et des
; on aura
![{\displaystyle x=r\sin \theta \cos \varphi ,\qquad y=r\sin \theta \sin \varphi ,\qquad z=r\cos \theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5bbe5316ec979dd04c96c93f3325048f8986c40)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}&r^{2}\sin ^{2}\theta =xdy-ydx,\\&-r^{2}d\theta =(xdz-zdx)\cos \varphi +(ydz-zdy)\sin \varphi ,\\&ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}d\varphi ^{2}\sin ^{2}\theta .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a26ef66e69c226e7395b634b5714757e9ffd9f2)
En considérant ensuite
comme fonction de
et de
et désignant par
la latitude, on peut supposer dans cette fonction
et
ce qui donne
![{\displaystyle x=\cos \psi \cos \varphi ,\qquad y=\cos \psi \sin \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a850b6bbd07edf1c3abb6355877bc5823d8e082c)
On aura ainsi
![{\displaystyle {\frac {\partial u'}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u'}{\partial y}}dy={\frac {\partial u'}{\partial \psi }}d\psi +{\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}d\varphi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c050fec1d59a8b8f584635fa588ba22d794831f)
mais on a
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=\cos \psi ,\qquad {\frac {y}{x}}=\operatorname {tang} \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132f7bdafb0cca2be81b4f133e6712a951d7a12c)
d’où l’on tire
![{\displaystyle d\psi =-{\frac {xdx+ydy}{\sin \psi \cos \psi }},\qquad d\varphi ={\frac {xdy-ydx}{x^{2}}}\cos ^{2}\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/508b84caf7d462aae15213862507a9d94fa76bc4)
En substituant ces valeurs de
et de
dans l’équation différentielle précédente en
et comparant séparément les coefficients de
et de
, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u'}{\partial x}}&=-{\frac {\cos \varphi }{\sin \psi }}{\frac {\partial u'}{\partial \psi }}-{\frac {\sin \varphi }{\cos \psi }}{\frac {\partial u'}{\partial \varphi }},\\{\frac {\partial u'}{\partial y}}&=-{\frac {\sin \varphi }{\sin \psi }}{\frac {\partial u'}{\partial \psi }}+{\frac {\cos \varphi }{\cos \psi }}{\frac {\partial u'}{\partial \varphi }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df94b390df854c9292599af6cdd722cc001e5da8)