ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {\partial u'}{\partial x}}d^{2}y-{\frac {\partial u'}{\partial y}}d^{2}x=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe4dc547ad15a9eea5a17187507a2415b107b883)
![{\displaystyle -{\frac {\frac {\partial u'}{\partial \psi }}{\sin \psi \cos \psi }}\left(xd^{2}y-yd^{2}x\right)-{\frac {\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}{\cos ^{2}\psi }}\left(xd^{2}x+yd^{2}y\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d554608d6aa295adda935a82b8e19f48a1fbdeb)
or, en négligeant les quantités de l’ordre
on a
; de plus, les deux équations
![{\displaystyle xd^{2}z-zd^{2}x=0,\qquad yd^{2}z-zd^{2}y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ef147de9fba4d5ae1b933964939a2076e094eb6)
donnent
![{\displaystyle zd^{2}z={\frac {z^{2}\left(xd^{2}x+yd^{2}y\right)}{x^{2}+y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10fe4e0f6fed9c836ce19dbdf6211489cacdbf82)
et l’équation
donne
![{\displaystyle xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z+ds^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f217b9ebf2f650d1503e63243935c6c89122eb)
en substituant au lieu de
sa valeur précédente, on aura
![{\displaystyle xd^{2}x+yd^{2}y=-\left(x^{2}+y^{2}\right)ds^{2}=-ds^{2}\cos ^{2}\psi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7d1ecfccf7ceb350a1f9728cce878a0e219aaca)
partant,
![{\displaystyle {\frac {\partial u'}{\partial x}}d^{2}y-{\frac {\partial u'}{\partial y}}d^{2}x=-{\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}ds^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cdba9ff27192b1aa60d385ea153e46c74ee2948)
La première des équations (O) donnera ainsi, en l’intégrant,
(p)
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étant une constante arbitraire.
La seconde des équations (O) donne
![{\displaystyle d(xdz-zdx)=\alpha {\frac {\partial u'}{\partial x}}d^{2}z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41a6e921e955e22282debf01676558df9f40e2d3)
mais il est facile de voir, par ce qui précède, que l’on a
![{\displaystyle d^{2}z=-ds^{2}\sin \psi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cec01c364a987c71bd42dcf09e4c790cb38b112e)
on a donc
![{\displaystyle d(xdz-zdx)=-\alpha ds^{2}{\frac {\partial u'}{\partial x}}\sin \psi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22466cfefa2364ccab345a260c71426c944ed353)
on a pareillement
![{\displaystyle d(ydz-zdy)=\alpha ds^{2}{\frac {\partial u'}{\partial y}}\sin \psi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c2a98eb8811a33a80275efd06bde638ca1b43b)