on aura donc
(q)
![{\displaystyle \quad \left\{{\begin{aligned}r^{2}d\theta =&c'ds\sin \varphi +c''ds\cos \varphi \\&-\alpha ds\cos \varphi \int ds\left({\frac {\partial u'}{\partial \psi }}\cos \varphi +{\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}\sin \varphi \operatorname {tang} \psi \right)\\\\&-ads\sin \varphi \int ds\left({\frac {\partial u'}{\partial \psi }}\sin \varphi -{\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}\cos \varphi \operatorname {tang} \psi \right).\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147e2fc7302c7c95229fd3a927205577f8bd9433)
Considérons d’abord le cas dans lequel le premier côté de la ligne géodésique est parallèle au plan correspondant du méridien céleste. Dans ce cas,
est de l’ordre
ainsi que
; on a donc, en négligeant les quantités de l’ordre
l’arc
étant supposé croître de l’équateur aux pôles.
exprimant la latitude, il est facile de voir que l’on a
ce qui donne
![{\displaystyle d\theta =-d\psi -\alpha d\psi {\frac {\partial ^{2}u'}{\partial \psi ^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c747415d262ae816bee685e679cb6ceaaae54a5)
on a donc
![{\displaystyle ds=d\psi \left(1+\alpha u'+\alpha {\frac {\partial ^{2}u'}{\partial \psi ^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c0f15d77e874aefc11ca8936f15c9e7ab7aed42)
Ainsi, en nommant
la différence en latitude des deux points extrêmes de l’arc
, on aura
![{\displaystyle s=\varepsilon +\alpha \varepsilon \left(u'_{\text{ı}}+{\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \psi ^{2}}}\right)+{\frac {\alpha \varepsilon ^{2}}{1.2}}\left({\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}+{\frac {\partial ^{3}u'_{\text{ı}}}{\partial \psi ^{3}}}\right)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7492b8b337d94857bd579bf88d51f9605b27345a)
étant ici la valeur de
à l’origine de ![{\displaystyle s.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7be57a083bd9ebe931fad214b191cfb20227ff9)
Lorsque la Terre est un solide de révolution, la ligne géodésique est toujours dans le plan d’un même méridien ; elle s’en écarte si les parallèles ne sont pas des cercles ; l’observation de cet écart peut donc nous éclairer sur ce point important de la tbéorie de la Terre. Reprenons l’équation (p), et observons que, dans le cas présent,
et la constante
de cette équation sont de l’ordre
et que l’on peut y supposer
et
on aura ainsi
![{\displaystyle d\varphi \cos ^{2}\psi =cd\psi +\alpha d\psi \int d\psi {\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30205d4a0232cf5f1a86809fdb7a1323d7d1eea6)