L’équation
![{\displaystyle \theta =100^{\circ }-\psi -\alpha {\frac {\partial u'}{\partial \psi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88949fdb0f910ab7f91e7b7f02e881bf648581fe)
donne, en ne conservant parmi les termes de l’ordre
que ceux qui sont indépendants de ![{\displaystyle \alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2cc8f6d373595f06dcd33f127dadf2b9d5727f)
![{\displaystyle \psi -\psi _{\text{ı}}=-s{\frac {d\theta _{\text{ı}}}{ds}}-{\frac {1}{2}}s^{2}{\frac {d^{2}\theta _{\text{ı}}}{ds^{2}}}-{\frac {\alpha s}{\cos \psi _{\text{ı}}}}{\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi \partial \psi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b3ce738385f6be613eaf02d4a94bd3f2eb378be)
partant,
![{\displaystyle \psi -\psi _{\text{ı}}=-{\frac {\alpha s}{\cos \psi _{\text{ı}}}}\left({\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi }}\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}+{\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi \partial \psi }}\right)-{\frac {1}{2}}s^{2}\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/970ef274b271d062b243d4fcb74ef424e36d8265)
La différence des latitudes aux deux extrémités de l’arc mesuré fera donc connaître la fonction
![{\displaystyle -{\frac {\alpha s}{\cos \psi _{\text{ı}}}}\left({\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi }}\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}+{\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi \partial \psi }}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/808bef4bfccf0126dfe8f53d25ba5cc650213b2b)
il est remarquable que, pour le même arc mesuré dans le sens du méridien, cette fonction est, par ce qui précède, égale à
elle pourra ainsi être déterminée de ces deux manières, et l’on pourra juger si les valeurs trouvées soit de la différence des latitudes, soit de l’angle azimutal
sont dues aux erreurs des observations ou à l’excentricité des parallèles terrestres.
On a, en ne conservant que la première puissance de
![{\displaystyle \varphi -\varphi _{\text{ı}}=s{\frac {d\varphi _{\text{ı}}}{ds}}={\frac {s}{\cos \psi _{\text{ı}}}}\left(1-\alpha u'_{\text{ı}}+\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}\operatorname {\operatorname {tang} } \psi _{\text{ı}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56dc74c11dbabc785dc7ce3562ac43f4798f87d0)
n’est pas la différence en longitude des deux extrémités de l’arc
; cette différence est égale à
or on a, par ce qui précède.
![{\displaystyle \varphi -{\rm {V}}={\frac {\alpha {\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}}{\cos ^{2}\psi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8781979545e1bc493e3f9cf40ee9f453b92599fe)
ce qui donne
![{\displaystyle \varphi -{\rm {V}}-\left(\varphi _{\text{ı}}-{\rm {V}}_{\text{ı}}\right)={\frac {\alpha s{\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi \partial s}}}{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}}={\frac {\alpha s{\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi ^{2}}}}{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b0ef6a618d659ab82845d859d7afd29d4e4b832)