partant,
![{\displaystyle {\rm {V-V_{\text{ı}}}}={\frac {s}{\cos \psi _{\text{ı}}}}\left(1-\alpha u'_{\text{ı}}+\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}\operatorname {\operatorname {tang} } \psi _{\text{ı}}-{\frac {\alpha {\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi ^{2}}}}{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a812b1d1b2ebec9720e9dbf45364a275bfca7512)
Pour plus d’exactitude, il faut ajouter à cette valeur de
le terme dépendant de
et indépendant de
que l’on obtient dans l’hypothèse de la Terre sphérique ; ce terme est égal à
ainsi l’on a
![{\displaystyle {\rm {V-V_{\text{ı}}}}={\frac {s}{\cos \psi _{\text{ı}}}}\left(1-\alpha u'_{\text{ı}}+\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}\operatorname {\operatorname {tang} } \psi _{\text{ı}}-{\frac {\alpha {\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi ^{2}}}}{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}}-{\frac {1}{3}}s^{2}\operatorname {tang} ^{2}\psi _{\text{ı}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4f5595a889d8c11a2c0458012bd95a815d4cd61)
Il nous reste à déterminer l’angle azimutal à l’extrémité de l’arc
. Pour cela, nommons
et
les coordonnées
et
, rapportées au méridien de la dernière extrémité de l’arc
; il est facile de voir que le cosinus de l’angle azimutal est égal à
Si l’on rapporte les coordonnées
et
au plan du méridien correspondant à la première extrémité de l’arc, son premier côté étant supposé perpendiculaire au plan de ce méridien, on aura
![{\displaystyle {\frac {dx_{\text{ı}}}{ds}}=0,\qquad {\frac {dz_{\text{ı}}}{ds}}=0,\qquad {\frac {dy_{\text{ı}}}{ds}}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a243b2fadafece83be35f192d4abb2cd6d3d3b81)
partant, en ne conservant que la première puissance de ![{\displaystyle s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5748cdb81bf00075de8e7e6828c343687513830)
![{\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=s{\frac {d^{2}x_{\text{ı}}}{ds^{2}}},\qquad {\frac {dz}{ds}}=s{\frac {d^{2}z_{\text{ı}}}{ds^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e988ebc4d07816de35b52de88dcdfa197c942b24)
or on a
![{\displaystyle x'=x\cos \left({\rm {V-V_{\text{ı}}}}\right)+y\sin \left({\rm {V-V_{\text{ı}}}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6eccf7874bc41bed32bbc0b586ff0c11e498627)
ainsi,
étant, par ce qui précède, de l’ordre
on aura
![{\displaystyle {\frac {dx'}{ds}}=s{\frac {d^{2}x_{\text{ı}}}{ds^{2}}}+\left({\rm {V-V_{\text{ı}}}}\right){\frac {dy_{\text{ı}}}{ds}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c13cd093f331829f9f081e2648caa9411bb654)
Maintenant on a
![{\displaystyle x=r\sin \theta \cos \varphi ,\qquad z=r\cos \theta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d19a18300ef1a3253fc3909debdaf749b4bf7c79)
on aura donc, en négligeant les quantités de l’ordre
et observant