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positif et égal à $h^{(r)}\delta y\,;$ la somme de ce terme et des suivants, qui sont tous positifs, augmentera de la quantité

$\left(h^{(r)}+h^{(r+1)}+\ldots \right)\delta y\,;$

mais on a, par la supposition,

$h^{(1)}+h^{(2)}+\ldots +h^{(r-1)}<h^{(r)}+h^{(r+1)}+\ldots \,;$

la somme entière des termes de la suite (P), pris tous positivement, sera donc augmentée, et, comme elle est égale à la somme des erreurs $i^{(1)}x^{(1)},i^{(2)}x^{(2)},\ldots$ des arcs entiers mesurés, prises toutes avec le signe $+,$ cette dernière somme sera augmentée par la supposition de $y={\frac {c^{(r)}}{h^{(r)}}}+\delta y.$ Il est facile de s’assurer de la même manière qu’en augmentant $y,$ en sorte qu’il soit compris entre ${\frac {c^{(r-1)}}{h^{(r-1)}}}$ et ${\frac {c^{(r-2)}}{h^{(r-2)}}}$ ou entre ${\frac {c^{(r-2)}}{h^{(r-2)}}}$ et ${\frac {c^{(r-3)}}{h^{(r-3)}}},\ldots ,$ la somme des erreurs prises avec le signe $+$ sera plus grande que lorsque $y={\frac {c^{(r)}}{h^{(r)}}}.$

Diminuons présentement $y$ de la quantité $\delta y,$ en sorte que ${\frac {c^{(r)}}{h^{(r)}}}-\delta y$ soit compris entre ${\frac {c^{(r)}}{h^{(r)}}}$ et ${\frac {c^{(r+1)}}{h^{(r+1)}}}\,;$ la somme des termes négatifs de la série (P) augmentera, en changeant leur signe, de la quantité

$\left(h^{(1)}+h^{(2)}+\ldots +h^{(r)}\right)\delta y,$

et la somme des termes positifs de la même série diminuera de la quantité

$\left(h^{(r+1)}+h^{(r+2)}+\ldots \right)\delta y,$

et, puisque l’on a

$h^{(1)}+h^{(2)}+\ldots +h^{(r)}>h^{(r+1)}+h^{(r+2)}+\ldots ,$

il est clair que la somme entière des erreurs prises avec le signe $+$ sera augmentée. On verra de la même manière qu’en diminuant $y,$ en