d’une figure fermée, telle que l’ellipse, mue perpendiculairement à son plan, autour du centre de Saturne placé sur le prolongement de l’axe de cette figure. Nous supposerons cet axe très-petit par rapport à la distance de son centre à celui de la planète. On a vu, dans le no 11 du second Livre, que,
étant les trois coordonnées orthogonales d’un point attiré par un sphéroïde, et
étant la somme des molécules du sphéroïde divisées par leurs distances à ce point, on a
![{\displaystyle 0={\frac {\partial ^{2}{\rm {V}}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\rm {V}}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\rm {V}}}{\partial z^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/908104d7e7477198653c13bc6be57693eef70c1a)
Si, le sphéroïde étant de révolution, l’axe des
est l’axe même de révolution, et si l’on fait
devient fonction de
et de
puisque cette fonction doit rester la même quand
et
sont les mêmes ; on a donc alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}{\rm {V}}}{\partial x^{2}}}&={\frac {y^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial r}}+{\frac {x^{2}}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\rm {V}}}{\partial r^{2}}},\\\\{\frac {\partial ^{2}{\rm {V}}}{\partial y^{2}}}&={\frac {x^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial r}}+{\frac {y^{2}}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\rm {V}}}{\partial r^{2}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7f1475c518e9a95ab493187fbf1605aa5f8b230)
l’équation précédente deviendra ainsi
![{\displaystyle 0={\frac {1}{r}}{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}{\rm {V}}}{\partial r^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\rm {V}}}{\partial z^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3de2bbaf998367ff417bdd427217691fdfa844)
c’est l’équation relative au sphéroïde de révolution.
Si l’on fait
étant la distance du centre de Saturne au centre de la figure génératrice de l’anneau, on aura
(1)
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et, si l’on suppose les coordonnées
et
très-petites par rapport au rayon
on aura, à fort peu près,
![{\displaystyle 0={\frac {\partial ^{2}{\rm {V}}}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\rm {V}}}{\partial z^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d792690a1fbcc67078a049bec312088da53614)
c’est l’équation relative aux cylindres d’une longueur infinie de chaque