côté de l’origine des
et des
et l’on voit que ce cas est à fort peu près celui de l’anneau, quand le point attiré est voi\sin de sa surface.
Cette équation donne, en l’intégrant,
![{\displaystyle {\rm {V}}=\varphi \left(u+z{\sqrt {-1}}\right)+\psi \left(u-z{\sqrt {-1}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b40c51d1b0549af0eaef6b59e65f4657e23e1c7)
et
étant des fonctions arbitraires de
On peut mettre cette expression de
sous la forme suivante
![{\displaystyle {\rm {V}}=f\left(u+z{\sqrt {-1}}\right)+{\sqrt {-1}}\operatorname {F} \left(u+z{\sqrt {-1}}\right)+f\left(u-z{\sqrt {-1}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4d71c73c88d8b5ce3ceeb8ea1ba36e1a71b8e4e)
![{\displaystyle -{\sqrt {-1}}\operatorname {F} \left(u-z{\sqrt {-1}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea7c8d61718e0c4e90cf277f59a852edcd310b9)
et
étant des fonctions réelles de
Si la figure génératrice du cylindre est formée de deux parties égales et semblables de chaque côté de l’axe des
, alors l’expression de
reste la même, en y changeant le signe de
ainsi l’on a, dans ce cas,
![{\displaystyle {\rm {V}}=f\left(u+z{\sqrt {-1}}\right)+f\left(u-z{\sqrt {-1}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76f36787c8ea9485d312607909369f97faef4877)
Pour déterminer la fonction
il suffit de connaître la valeur de
, lorsque
ou lorsque le point attiré est sur le prolongement de l’axe des
, et l’on verra bientôt que la détermination de cette fonction se réduit aux quadratures des courbes.
La valeur de
relative aux cylindres ne doit être considérée que comme une approximation par rapport aux anneaux ; mais, en la substituant dans l’équation (1), il est facile d’en conclure des valeurs de {\rm V} successivement plus approchées. Si l’on fait dans cette équation
![{\displaystyle u+z{\sqrt {-1}}=s,\qquad u-z{\sqrt {-1}}=s',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082c63c2ed17b4d14fc1cbb9e4bcb46eaba9f298)
elle deviendra
![{\displaystyle 0=2{\frac {\partial ^{2}{\rm {V}}}{\partial s\partial s'}}+{\frac {1}{2a+s+s'}}\left({\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial s}}+{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial s'}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d635c562aa6e21c7866361a690d92379351ec161)
Soit
![{\displaystyle {\rm {V}}={\rm {V'}}+{\frac {1}{a}}{\rm {V''}}+{\frac {1}{a^{2}}}{\rm {V'''}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/293e3c4f279d3e7fa70b9184672f9d86cf305992)
on aura, en comparant les puissances semblables de
les équations