Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/195

parfaitement semblable dans toutes ses parties, son équilibre serait troublé par la force la plus légère, telle que l’attraction d’une comète ou d’un satellite, et l’anneau finirait par se précipiter sur la surface de Saturne. Pour le faire voir, imaginons que l’anneau soit une ligne circulaire dont $r$ soit le rayon, et dont le centre soit à la distance $z$ du centre de Saturne, supposé dans le plan de l’anneau. Il est clair que la résultante de l’attraction de Saturne sur cette circonférence sera dirigée suivant la droite $z$ qui joint les deux centres. Si l’on nomme $\varpi$ l’angle que le rayon $r$ forme avec le prolongement de $z,$

$-{\frac {\partial }{\partial z}}\int {\frac {{\rm {S}}d\varpi }{\sqrt {r^{2}+2rz.\cos \varpi +z^{2}}}}$

sera l’attraction de Saturne sur l’anneau, décomposée parallèlement à $z$, l’intégrale étant prise depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi$ égal à la circonférence, et la différentielle étant prise par rapport à $z$. Nommons ${\rm {A}}$ cette attraction ; le centre de l’anneau sera donc $mu$ comme si, toute sa masse étant réunie à ce point, il était sollicité par la force ${\rm {A}}$ dirigée vers le centre de Saturne.

En désignant par $c$ le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, on a

${\frac {1}{\left(r^{2}+2rz.\cos \varpi +z^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{r\left(1+{\frac {z}{r}}c^{\varpi {\sqrt {-1}}}\right)^{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {z}{r}}c^{-\varpi {\sqrt {-1}}}\right)^{\frac {1}{2}}}}.$

Soit

${\frac {1}{\left(1+{\frac {z}{r}}c^{\varpi {\sqrt {-1}}}\right)^{\frac {1}{2}}}}=1+\alpha {\frac {z}{r}}c^{\varpi {\sqrt {-1}}}+\alpha '{\frac {z^{2}}{r^{2}}}c^{2\varpi {\sqrt {-1}}}+\ldots \,;$

on aura

${\frac {1}{\left(1+{\frac {z}{r}}c^{-\varpi {\sqrt {-1}}}\right)^{\frac {1}{2}}}}=1+\alpha {\frac {z}{r}}c^{-\varpi {\sqrt {-1}}}+\alpha '{\frac {z^{2}}{r^{2}}}c^{-2\varpi {\sqrt {-1}}}+\ldots .$

Si l’on multiplie ces deux suites l’une par l’autre, et qu’après avoir