Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/222

La partie de $a'$ relative à l’action de la couche aqueuse dont, le rayon intérieur étant l’unité, le rayon extérieur est $1+\alpha y$ sera, par ce qui précède,

$-{\frac {3\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\rho }}\left({\frac {1}{5}}{\rm {P}}^{(0)}+{\frac {1}{9}}{\rm {P}}^{(2)}+{\frac {1}{13}}{\rm {P}}^{(4)}+\ldots +{\frac {1}{4f+1}}{\rm {P}}^{(2f-2)}\right)\,;$

la partie de $a'$ relative à l’action de l’astre ${\rm {L}}$ est $-{\frac {k}{g}}\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\,;$ on aura donc

$a'=\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\times$

$\left[\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right){\rm {P}}^{(0)}+\left(1-{\frac {3}{9\rho }}\right){\rm {P}}^{(2)}+\ldots +\left(1-{\frac {3}{(4f+1)\rho }}\right){\rm {P}}^{(2f-2)}-{\frac {k}{g}}\right]$

Supposons que les constantes indéterminées qui multiplient chacune des fonctions ${\rm {P}}^{(0)},{\rm {P}}^{(2)},\ldots$ soient telles que la fonction ${\frac {2n}{i}}\mu a'-{\frac {\partial a'}{\partial \mu }}\left(1-\mu ^{2}\right)$ soit divisible par $i^{2}-4n^{2}\mu ^{2},$ ce qui ne demande qu’une seule équation de condition entre ces indéterminées ; alors le second membre de l’équation (4) n’aura plus de dénominateur ; car, en ne considérant dans ce second membre que les termes qui ont ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}$ pour diviseur, et supposant $a'=\operatorname {F} \mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}},\ \operatorname {F}$ étant une fonction rationnelle et entière de $\mu ^{2},$ les trois parties de ce second membre deviennent

$-\left({\frac {2n}{i}}+1\right){\frac {gz\mu ^{3}\operatorname {F} }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}+{\frac {2n}{i}}\left({\frac {2n}{i}}+1\right){\frac {gz\mu ^{3}\operatorname {F} }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}+{\frac {\left(i^{2}-4n^{2}\mu ^{2}\right)gz\mu \operatorname {F} }{i^{2}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}},$

ou $gz\mu \operatorname {F} {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\,;$ d’où il suit que ce second membre n’a point ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}$ au dénominateur. En substituant donc, dans cette équation, pour $a$ et $a'$ leurs valeurs, et en la divisant par $\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}},$ la comparaison des puissances semblables de $\mu$ donnera $f$ équations de condition qui, réunies à la précédente, formeront $f+1$ équations de condition à satisfaire ; mais le nombre des indéterminées, en y comprenant $q,$ est $f+1$ ; on aura donc autant d’indéterminées que d’équations.

Pour avoir la valeur de $q,$ désignons par ${\rm {Q}}\mu ^{2f-1}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}$ le terme de l’expression de $a$ le plus élevé en $\mu$ ; le terme semblable de l’expres-