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$r'$ et $s'$ étant relatifs à la surface de la mer, et $r_{\text{ı}}$, et $s_{\text{ı}}$ se rapportant à la surface du sphéroïde. En représentant par $\gamma$ la profondeur très-petite de la mer, on aura $r'=r_{\text{ı}}+\gamma ,$ ce qui donne

$r'^{2}s'-r_{\text{ı}}^{2}s_{\text{ı}}=r_{\text{ı}}^{2}(s'-s_{\text{ı}})+2r_{\text{ı}}\gamma s'+\gamma ^{2}s',$

et par conséquent, le rayon moyen de la Terre étant pris pour unité, on aura, à très-peu près,

$r'^{2}s'-r_{\text{ı}}^{2}s_{\text{ı}}=s'-s_{\text{ı}}\,;$

or on a

$\alpha s'=\alpha y+\alpha u'{\frac {\partial r'}{\partial \theta }}+\alpha v'{\frac {\partial r'}{\partial \varpi }},$

$u'$ et $v'$ étant relatifs à la surface de la mer ; on a pareillement

$\alpha s_{\text{ı}}=\alpha u_{\text{ı}}{\frac {\partial r_{\text{ı}}}{\partial \theta }}+\alpha v_{\text{ı}}{\frac {\partial r_{\text{ı}}}{\partial \varpi }},$

$u_{\text{ı}}$ et $v_{\text{ı}}$ étant relatifs à la surface du sphéroïde ; on a donc

$s'-s_{\text{ı}}=y-u'{\frac {\partial r'}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}+u_{\text{ı}}{\frac {\partial r_{\text{ı}}}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}-v'{\frac {\partial r'}{\partial \varpi }}-v_{\text{ı}}{\frac {\partial r_{\text{ı}}}{\partial \varpi }},$

partant, on aura, à très-peu près,

(8)

$\left\{{\begin{aligned}y=&u'{\frac {\partial r'}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}-u_{\text{ı}}{\frac {\partial r_{\text{ı}}}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}+v'{\frac {\partial r'}{\partial \varpi }}+v_{\text{ı}}{\frac {\partial r_{\text{ı}}}{\partial \varpi }}\\&\qquad +\int dr\left({\frac {\partial .u{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\partial \mu }}-{\frac {\partial v}{\partial \varpi }}\right).\end{aligned}}\right.$

Cette équation n’est pas restreinte, comme l’équation (1) du n^o 1, à la condition que $u$ et $v$ soient les mêmes pour toutes les molécules situées sur le même rayon ; il est facile de voir qu’en remplissant cette condition, ces deux équations coïncident.

Maintenant, si l’on ajoute l’équation (6), multipliée par $drd\mu d\varpi {\frac {\partial u}{\partial t}},$ à l’équation (7), multipliée par $drd\mu d\varpi {\frac {\partial v}{\partial t}},$ on aura, en l’intégrant,

(9)

$\left\{{\begin{aligned}&\iiint drd\mu d\varpi \left[{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial v}{\partial t}}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial t^{2}}}\left(1-\mu ^{2}\right)\right]\\\\=&\iiint drd\mu d\varpi \left(g{\frac {\partial y'}{\partial \mu }}{\frac {\partial u}{\partial t}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}-g{\frac {\partial y'}{\partial \varpi }}{\frac {\partial v}{\partial t}}\right).\end{aligned}}\right.$