posé égal à
![{\displaystyle {\rm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+Y^{(2)}+Y^{(3)}+Y^{(4)}+\ldots ,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff1382170777150618250828bcdea57efe52c73)
on a
![{\displaystyle {\rm {V'}}={\frac {3g}{\rho }}\left({\rm {Y^{(0)}+{\frac {1}{3}}Y^{(1)}+{\frac {1}{5}}Y^{(2)}+{\frac {1}{7}}Y^{(3)}+\ldots }}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad7a52e0950eb74ac950f627d7e920cb1dc12842)
or on a généralement
![{\displaystyle \iint {\rm {Y}}^{(i)}{\rm {Y}}^{(i')}d\mu d\varpi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0201c16cb7b7585fb47f1640af8bd1cee9012590)
lorsque
et
sont des nombres différents ; on a donc
![{\displaystyle \iint y'{\frac {\partial y}{\partial t}}d\mu d\varpi =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5b1cf6e2f6138853fe3dc9eae3be32f5271bc9c)
![{\displaystyle \iint d\mu d\varpi \left\{{\begin{aligned}&\left(1-{\frac {3}{\rho }}\right){\rm {Y}}^{(0)}{\frac {\partial {\rm {Y}}^{(0)}}{\partial t}}+\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right){\rm {Y}}^{(1)}{\frac {\partial {\rm {Y}}^{(1)}}{\partial t}}\\\\+&\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right){\rm {Y}}^{(2)}{\frac {\partial {\rm {Y}}^{(2)}}{\partial t}}+\left(1-{\frac {3}{7\rho }}\right){\rm {Y}}^{(3)}{\frac {\partial {\rm {Y}}^{(3)}}{\partial t}}+\ldots \end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49988eb77ac906cced435b439f3e6df70be692cc)
Par le no 2, on a
l’équation (10) devient donc, en l’intégrant par rapport au temps
,
(11)
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étant une constante arbitraire. Il est facile de voir que le premier membre de cette équation exprime, à très-peu près, la force vive de la masse fluide, en ne considérant que la vitesse relative de ses molécules sur le sphéroïde terrestre.
est une constante indépendante du temps
, et qui dépend de l’état initial du mouvement de la mer ; elle est très-petite, lorsque l’on suppose l’ébranlement primitif peu considérable.
Si
est plus grand que l’unité, la fonction
![{\displaystyle -g\iint d\mu d\varpi \left[\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right){\rm {Y}}^{(1)^{2}}+\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right){\rm {Y}}^{(2)^{2}}+\ldots \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d90c856788c5523bfaa3aafe3bd8ec28998b257)
sera constamment négative ; elle sera moindre que
, puisque le premier membre de l’équation précédente est nécessairement positif ;
ne doivent donc point contenir d’exponentielles croissantes, ni