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seraient disposées séparément sur la surface de l’eau tranquille. Cela résulte évidemment de ce que les oscillations très-petites sont données par des équations différentielles linéaires, dont les intégrales complètes sont les sommes de toutes les intégrales partielles qui y satisfont. Soient donc $y$ l’ordonnée de la courbe des hauteurs de la mer correspondante au temps $t$, et $y'$ l’ordonnée correspondante au temps $t-{\rm {T}}\,;\ y+y'$ sera la somme de ces hauteurs ; on aura par conséquent

(o)

$y+y'={\frac {{\rm {L_{\text{ı}}}}y''}{\rm {L}}}.$

Maintenant, si l’on développe $y'$ et $y''$ en séries ordonnées par rapport aux puissances de ${\rm {T}}$, on aura, en négligeant les puissances supérieures au carré,

${\begin{aligned}y'&=y-{\rm {T}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\rm {T^{2}}}{2}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\\y''&=y-{\frac {1}{2}}{\rm {T}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\rm {T^{2}}}{8}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}.\end{aligned}}$

On a, de plus,

${\rm {L_{\text{ı}}=2L-L}}n'^{2}{\rm {T^{2}\,;}}$

ces valeurs, substituées dans l’équation (o), donnent

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-4n'^{2}y\,;$

d’où l’on tire, en intégrant,

$y={\frac {\rm {BL}}{r^{3}}}\cos(2nt+2\varpi -2\psi -2\lambda ),$

${\rm {B}}$ et $\lambda$ étant deux arbitraires, dont la première dépend de la grandeur de la marée totale dans le port, et dont la seconde dépend de l’heure de la marée ou du temps dont elle suit le passage du Soleil au méridien.

Cette expression de $y$ donne la loi suivant laquelle la mer s’élève et s’abaisse. Concevons un cercle vertical dont la circonférence représente un intervalle d’un demi-jour, et dont le diamètre soit égal à la marée totale, c’est-à-dire à la différence des hauteurs de la pleine et de la