Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/263

3^o Que ces forces, décomposées perpendiculairement au plan du méridien, sont

${\begin{aligned}&-3\cos \theta \left[{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\sin v\cos v\sin(nt+\varpi -\psi )\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\sin v'\cos v'\sin(nt+\varpi -\psi ')\right]\\\\&-{\frac {3}{2}}\sin \theta \left[{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\cos ^{2}v\sin 2(nt+\varpi -\psi )\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\cos ^{2}v'\sin 2(nt+\varpi -\psi ')\right].\end{aligned}}$

Les forces partielles

${\begin{aligned}-&{\frac {1+3\cos 2\theta }{4}}\left[{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\left(1-3\sin ^{2}v\right)+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\left(1-3\sin ^{2}v'\right)\right],\\\\&\qquad {\frac {3}{4}}\sin 2\theta \left[{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\left(1-3\sin ^{2}v\right)+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\left(1-3\sin ^{2}v'\right)\right]\end{aligned}}$

croissant avec une grande lenteur, on peut, comme on l’a vu dans le numéro précédent, supposer que la mer est, à chaque instant, en équilibre, sous l’action de ces forces, et dans ce cas la valeur de $\alpha y,$

$-{\frac {1+3\cos 2\theta }{8g\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right)}}\left[{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\left(1-3\sin ^{2}v\right)+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\left(1-3\sin ^{2}v'\right)\right],$

donnée par le n^o 6, représente la hauteur de la mer due à l’action de ces forces.

Les forces partielles dépendantes de l’angle $2nt+2\varpi +\ldots$ peuvent être décomposées en différents termes multipliés par les sinus et les cosinus d’angles de la forme $2nt-2qt+2\varepsilon .$ On s’assurera, comme dans le numéro précédent, qu’il en résulte dans l’expression de la hauteur de la mer une quantité égale à

${\begin{aligned}&{\rm {P}}\left[{\frac {{\rm {L}}\cos ^{2}v}{r^{3}}}\cos 2(nt+\varpi -\psi -\lambda )\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {{\rm {L'}}\cos ^{2}v'}{r'^{3}}}\cos 2(nt+\varpi -\psi '-\lambda )\right]\\\\&{\rm {PQ}}{\frac {d}{dt}}\left[{\frac {{\rm {L}}\cos ^{2}v}{r^{3}}}\sin 2(nt+\varpi -\psi -\lambda )\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {{\rm {L'}}\cos ^{2}v'}{r'^{3}}}\sin 2(nt+\varpi -\psi '-\lambda )\right],\end{aligned}}$

le temps $t$ devant être diminué de ${\rm {T}}$ dans ces termes, et la différentielle étant prise en faisant $nt$ constant.