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change dans ${\rm {{L'}(1-2m'{\rm {Q}}\cos \varepsilon '),}}$ et que dans les syzygies des solstices il se change dans ${\rm {{L'}\left(1-{\frac {2m'{\rm {Q}}}{\cos \varepsilon '}}\right),}}$ en sorte que, dans l’ensemble des syzygies de la Table II, ${\rm {L'}}$ doit être changé dans ${\rm {{L'}\left[1-2m'{\rm {Q}}\left(\cos \varepsilon '+{\frac {1}{\cos \varepsilon '}}\right)\right]\,;}}$ or on a

$\cos \varepsilon '+{\frac {1}{\cos \varepsilon '}}=2+4{\frac {\sin ^{4}{\frac {1}{2}}\varepsilon '}{\cos \varepsilon '}},$

et ce dernier terme peut être négligé par rapport au premier, à cause de la petitesse de $\sin ^{4}{\frac {1}{2}}\varepsilon '\,;\ {\rm {L'}}$ doit donc, relativement aux syzygies de la Table II, être changé en ${\rm {{L'}(1-2m'{\rm {Q}}),}}$ comme si la Lune était en mouvement dans le plan même de l’équateur.

Déterminons la variation des marées, près de leur maximum, qui résulte de la théorie de la pesanteur. Pour cela, reprenons l’expression de ${\rm {Y''}}$ du n^o 22 ; l’angle e’ayant varié sensiblement dans l’intervalle des quarante-huit syzygies de la Table II, il sera déterminé avec une exactitude suffisante pour notre objet, en prenant pour $\cos ^{2}\varepsilon '$ une moyenne entre les carrés des cosinus des déclinaisons de la Lune dans les vingt-quatre syzygies solsticiales de cette Table ; soient donc $p$ et $p'$ les sommes des carrés des cosinus des déclinaisons du Soleil et de la Lune dans les vingt-quatre syzygies des équinoxes, et $q,q'$ les mêmes sommes dans les vingt-quatre syzygies des solstices ; nous pourrons supposer, à très-peu près,

$\sin ^{2}\varepsilon '={\frac {24-q'}{24}},\qquad \cos ^{2}{\frac {\varepsilon +\varepsilon '}{2}}={\frac {q+q'}{2.24}}.$

Le terme multiplié par $t^{2}$ dans l’expression de ${\rm {Y''}}$ deviendra ainsi, relativement aux vingt-quatre syzygies équinoxiales,

$-48{\rm {P}}.{\frac {128}{160}}\left({\frac {\rm {L}}{r^{3}}}+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\right)t^{2}\mu ^{2}\left({\frac {q+q'}{p+{\frac {123}{40}}p'}}+1{,}165.{\frac {2p'-q'-24}{24}}\right),$

et le même terme relatif aux vingt-quatre syzygies solsticiales sera

$-48{\rm {P}}.{\frac {128}{160}}\left({\frac {\rm {L}}{r^{3}}}+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\right)t^{2}\mu ^{2}\left({\frac {q+q'}{p+{\frac {123}{40}}p'}}-1{,}165.{\frac {24-q'}{24}}\right),$