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d’où l’on tire $r',$ en prenant le radical en plus, et $r$, en le prenant en moins ; on aura donc

$r+r'={\rm {\frac {2I}{L}}},\qquad r-r'={\rm {\frac {2{\sqrt {R}}}{L}}},$

ce qui donne, relativement aux points intérieurs du sphéroïde,

${\begin{aligned}&{\rm {A}}=&2\iint {\frac {dpdq.{\rm {I}}\sin p\cos p}{\rm {L}}},\\\\&{\rm {B}}=&2\iint {\frac {dpdq.{\rm {I}}\sin ^{2}p\cos q}{\rm {L}}},\\\\&{\rm {C}}=&2\iint {\frac {dpdq.{\rm {I}}\sin ^{2}p\sin q}{\rm {L}}},\end{aligned}}$

et relativement aux points extérieurs,

${\begin{aligned}&{\rm {A}}=&2\iint {\frac {dpdq.\sin p\cos p.{\sqrt {\rm {R}}}}{\rm {L}}},\\\\&{\rm {B}}=&2\iint {\frac {dpdq.\sin ^{2}p\cos q.{\sqrt {\rm {R}}}}{\rm {L}}},\\\\&{\rm {C}}=&2\iint {\frac {dpdq.\sin ^{2}p\sin q.{\sqrt {\rm {R}}}}{\rm {L}}},\end{aligned}}$

ces trois dernières intégrales devant être prises entre les deux limites qui correspondent à ${\rm {R=0.}}$

3. Les expressions relatives aux points intérieurs étant les plus simples, nous commencerons par les considérer. Nous observerons d’abord que le demi-axe $k$ du sphéroïde n’entre point dans les valeurs de ${\rm {I}}$ et de ${\rm {L}}$ ; les valeurs de ${\rm {A,\ B,\ C}}$ en sont par conséquent indépendantes, d’où il suit que l’on peut augmenter à volonté les couches du sphéroïde supérieures au point attiré, sans changer l’attraction du sphéroïde sur ce point, pourvu que les valeurs de $m$ et de $n$ soient constantes. De là résulte le théorème suivant :

Un point placé au dedans d’une couche elliptique, dont les surfaces intérieure et extérieure sont semblables et semblablement situées, est également attiré de toutes parts.