Ce théorème est une extension de celui que nous avons démontré dans le second Livre, no 12, relativement à une couche sphérique.
Reprenons la valeur de Si l’on y substitue, au lieu de et de leurs valeurs, elle devient
Les intégrales relatives à et à devant être prises depuis et égaux à zéro jusqu’à et égaux à deux angles droits, il est clair que l’on a généralement étant une fonction rationnelle de et de parce que, la valeur de étant prise à égale distance au-dessus et au-dessous de l’angle droit, les valeurs correspondantes de sont égales et de signe contraire ; on aura ainsi
Si l’on intègre par rapport à depuis jusqu’à égal à deux angles droits, on trouvera
l’intégrale devant être prise depuis jusqu’à Soit et nommons la masse entière du sphéroïde ; on aura, par le no 1, et par conséquent on aura donc
l’intégrale étant prise depuis jusqu’à
En intégrant de la même manière les expressions de et de on les réduirait à de simples intégrales ; mais il est plus facile de tirer ces intégrales de l’expression précédente de Pour cela, on observera que cette expression peut être considérée comme une fonction de et