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En faisant donc

${\begin{aligned}&(l-l')u'+l'u=lu'',\\&(l-l')v'+l'v=lv'',\\&(l-l')y'+l'y=ly''.\end{aligned}}$

les quatre équations précédentes donneront celles-ci

$r^{2}\delta \theta \left({\frac {\partial ^{2}u''}{\partial t^{2}}}-2n\sin \theta \cos \theta {\frac {\partial v''}{\partial t}}\right)$

$+r^{2}\delta \varpi \left(\sin ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}v''}{\partial t^{2}}}+2n\sin \theta \cos \theta {\frac {\partial u''}{\partial t}}\right)=\delta {\rm {V'}}-g\delta y'',$

$y''=-l\left({\frac {\partial u''}{\partial \theta }}+{\frac {\partial v''}{\partial \varpi }}+{\frac {u''\cos \theta }{\sin \theta }}\right).$

Ces deux équations sont évidemment celles des oscillations de la mer, en lui supposant la profondeur $l,$ et dans ce cas on peut déterminer la valeur de $y'',$ ainsi que celle de $y,$ par le Chapitre I de ce Livre ; on aura donc ainsi la valeur de $y'$ par l’analyse exposée dans ce Chapitre.

Nous avons observé, dans le n^o 37 du Livre I, que, $k$ étant la hauteur du baromètre dans l’état d’équilibre, ses oscillations sont représentées par la formule ${\frac {\alpha k(y+y')}{l}},$ et par conséquent par celle-ci

${\frac {\alpha k(ly''-l'y)}{l(l-l')}}.$

Il est facile de voir, par le n^o 37 du Livre I, que $l$ est le rapport de la hauteur de l’atmosphère au rayon terrestre, en supposant la densité de l’air et sa température partout les mêmes ; or on trouve par l’expérience qu’à la température de la glace fondante la densité du mercure est à celle de l’air à peu près dans le rapport de $10320$ à l’unité, et comme la hauteur moyenne du baromètre est d’environ $0^{\rm {m}}{,}76,$ il en résulte que $l={\frac {1}{812}}.$ À des températures plus élevées, la valeur de $l$ augmente. Pour avoir une idée des oscillations du baromètre, nous supposerons la température telle que $l={\frac {1}{722{,}5}},$ ce qui est une des profondeurs de la mer pour lesquelles nous avons déterminé, dans le n^o 11, la valeur de $\alpha y,$ qui sera dans ce cas celle de $\alpha y''$ ; nous supposerons, de plus, $l'=2l,$