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prises par rapport à des variables indépendantes de $\mu$ et de $\varpi ,$ si l’on désigne généralement par ${\rm {U'}}^{(i)}$ la fonction $y{\frac {\partial {\rm {U}}^{(i)}}{\partial x}}-x{\frac {\partial {\rm {U}}^{(i)}}{\partial y}}$ on aura

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {U'}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {U'}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\rm {U'}}^{(i)}.$

en sorte que la fonction ${\rm {U'}}^{(i)}$ est de la même nature que les fonctions ${\rm {Y}}^{(i)}$ et ${\rm {U}}^{(i)}\,;$ l’expression précédente de ${\frac {d{\rm {N}}}{dt}}$ deviendra ainsi, par ce que l’on a vu dans le n^o 2, et en substituant pour $dm$ sa valeur ${\rm {R}}^{2}d{\rm {R}}\rho d\mu d\varpi ,$ et pour ${\rm {R}}$ sa valeur $a+\alpha a\left({\rm {Y}}^{(1)}+{\rm {Y}}^{(2)}+\ldots \right),$

${\begin{aligned}{\frac {d{\rm {N}}}{dt}}&={\frac {\alpha {\rm {L}}}{r_{\text{ı}}^{3}}}\iiint d\left(a^{5}{\rm {Y}}^{(2)}\right){\rm {U'}}^{(2)}\rho d\mu d\varpi \\\\&+{\frac {\alpha {\rm {L}}}{r_{\text{ı}}^{4}}}\iiint d\left(a^{6}{\rm {Y}}^{(3)}\right){\rm {U'}}^{(3)}\rho d\mu d\varpi \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

les différentielles $d\left(a^{5}{\rm {Y}}^{(2)}\right),d\left(a^{6}{\rm {Y}}^{(3)}\right),\ldots$ étant relatives à la variable $a$ ; or l’équation (2) du n^o 29 du Livre III donne généralement, à la surface de la Terre et lorsque $i$ surpasse $2,$

$\int \rho d\left(a^{i+3}{\rm {Y}}^{(i)}\right)={\frac {2i+1}{3}}{\rm {Y}}^{(i)}\int \rho d.a^{3},$

les intégrales étant prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=1,$ et ${\rm {Y}}^{(i)}$ dans le second membre de cette équation étant relatif à la surface de la Terre ; on aura donc

${\frac {\alpha {\rm {L}}}{r_{\text{ı}}^{4}}}\iiint d\left(a^{6}{\rm {Y}}^{(3)}\right){\rm {U'}}^{(3)}\rho d\mu d\varpi ={\frac {7\alpha {\rm {L}}}{3r_{\text{ı}}^{4}}}\iint {\rm {Y}}^{(3)}{\rm {U'}}^{(3)}d\mu d\varpi \int \rho d.a^{3}.$

Si la figure de la Terre est celle d’un ellipsoïde, ${\rm {Y}}^{(3)}$ est nul, et alors l’expression de ${\frac {d{\rm {N}}}{dt}}$ se réduit à son premier terme, non-seulement à cause de la grandeur de $r_{\text{ı}}$ mais parce que les valeurs de ${\rm {Y}}^{(3)},{\rm {Y}}^{(4)},\ldots$ sont nulles. Quoique la figure elliptique ne satisfasse pas exactement aux degrés mesurés des méridiens, cependant l’accord des variations