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de la pesanteur avec cette figure indique que ${\rm {Y}}^{(3)},{\rm {Y}}^{(4)},\ldots$ sont peu considérables par rapport à ${\rm {Y}}^{(2)}\,;$ on peut donc calculer les mouvements de l’axe de la Terre, en lui supposant une figure elliptique, sans craindre aucune erreur.

4. Rapportons maintenant les coordonnées de l’astre ${\rm {L}}$ à un plan fixe, que nous supposerons être celui de l’écliptique à une époque donnée ; soient ${\rm {X,Y,Z}}$ ces nouvelles coordonnées, l’axe des $X$ étant la ligne menée du centre de la Terre à l’équinoxe du printemps, l’axe des ${\rm {Y}}$ étant la ligne menée du même centre au premier point du Cancer, et la ligne des ${\rm {Z}}$ étant la ligne menée de ce même centre au pôle boréal de l’écliptique : on aura, par le n^o 21 du Livre I,

${\begin{aligned}x&={\rm {X\cos \varphi +Y\cos \theta \sin \varphi -Z\sin \theta \sin \varphi ,}}\\y&={\rm {Y\cos \theta \cos \varphi -X\sin \varphi -Z\sin \theta \cos \varphi ,}}\\z&={\rm {Y\sin \theta +Z\cos \theta .}}\end{aligned}}$

Les équations différentielles (F) du numéro précédent deviendront ainsi

(G)

$\left\{{\begin{aligned}&dp+{\rm {\frac {B-A}{C}}}qrdt={\frac {3{\rm {L}}dt{\rm {(B-A)}}}{r_{\text{ı}}^{5}{\rm {(C)}}}}\\&\times \left\{{\begin{aligned}&{\rm {\left(Y^{2}\cos ^{2}\theta +Z^{2}\sin ^{2}\theta -X^{2}-2YZ\sin \theta \cos \theta \right)\sin 2\varphi }}\\&\quad +\left(2XY\cos \theta -2XZ\sin \theta \right)\cos 2\varphi \end{aligned}}\right\},\\\\&dq+{\rm {\frac {C-B}{A}}}rpdt={\frac {3{\rm {L}}dt{\rm {(C-B)}}}{r_{\text{ı}}^{5}{\rm {(A)}}}}\\&\times \left\{{\begin{aligned}&{\rm {\left[\left(Y^{2}-Z^{2}\right)\sin \theta \cos \theta +YZ\left(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \right)\right]\cos \varphi }}\\&\quad -\left(XY\sin \theta +XZ\cos \theta \right)\sin \varphi \end{aligned}}\right\},\\\\&dr+{\rm {\frac {A-C}{B}}}pqdt={\frac {3{\rm {L}}dt{\rm {(A-C)}}}{r_{\text{ı}}^{5}{\rm {(B)}}}}\\&\times \left\{{\begin{aligned}&{\rm {\left(XY\sin \theta +XZ\cos \theta \right)\cos \varphi }}\\&\quad +{\rm {\left[\left(Y^{2}-Z^{2}\right)\sin \theta \cos \theta +YZ\left(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \right)\right]\sin \varphi }}\end{aligned}}\right\}.\end{aligned}}\right.$

Intégrons présentement ces équations. Si les deux moments d’inertie ${\rm {A}}$ et ${\rm {B}}$ étaient égaux, ce qui aurait lieu dans le cas où la Terre serait un sphéroïde de révolution, la première de ces équations donnerait $dp=0,$ et par conséquent $p$ constant ; lorsqu’il y a une petite différence entre ces deux moments d’inertie, la valeur de $p$ renferme des inégalités périodiques, mais elles sont insensibles ; en effet, l’axe instantané de rotation s’éloignant toujours très-peu du premier axe principal, $q$ et $r$ sont de très-petites quantités, et l’on peut, sans erreur