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et, si l’on n’a égard qu’aux termes croissant avec une extrême lenteur, ${\frac {d{\rm {N}}}{dt}}=0.$

Ces équations sont les mêmes que nous avons trouvées ci-dessus, d’où résulte ce théorème remarquable, savoir, que les phénomènes de la précession des équinoxes et de la natation de l’axe de la Terre sont exactement les mêmes que si la mer formait une masse solide avec le sphéroïde quelle recouvre.

Il existe cependant un cas mathématiquement possible dans lequel ce théorème cesse d’avoir lieu : c’est le cas où le noyau terrestre recouvert par l’océan serait formé de couches sphériques. Il est clair qu’alors il n’y aurait aucun mouvement dans l’axe de rotation du noyau en vertu des attractions du Soleil et de la Lune et de l’attraction et de la pression de la mer, puisque la résultante de toutes ces forces passerait par le centre du noyau. Voyons ce qui empêche l’analyse précédente de s’étendre à ce cas.

Les parties des expressions de $\alpha y,\alpha u$ et $\alpha v$ qui influent sur les mouvements de l’axe terrestre sont celles qui dépendent des sinus et cosinus d’angles de la forme $it+\varpi ,$ dans lesquels $i$ est très-peu différent de $n,$ et l’on a vu, dans le n^o 8 du Livre IV, que ces parties sont relatives aux oscillations de la seconde espèce. Ces oscillations peuvent être déterminées dans ce cas par le numéro cité ; $i$ étant très-peu différent de $n,$ les expressions de $y,u$ et $v$, relatives à l’angle $it+\varpi ,$ sont de la forme

${\begin{aligned}y&={\frac {2lqk\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{2lgq\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right)-n^{2}}}\cos(it+\varpi ),\\\\u&={\frac {-k}{2lgq\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right)-n^{2}}}\cos(it+\varpi ),\\\\v&={\frac {k}{2lgq\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right)-n^{2}}}\sin(it+\varpi ).\end{aligned}}$

La profondeur de la mer est $l\left(1-q\mu ^{2}\right)\,;$ or on a, par le n^o 34 du Livre III, pour la condition de l’équilibre,

$lq={\frac {5n^{2}\rho }{(10\rho -6)g}},$