Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/406

la longitude du nœud descendant de l’équateur lunaire, égal à $mt$ ; on a donc

$\varphi _{\text{ı}}=mt+g't+{\text{ϐ'}}.$

Ainsi la première des deux valeurs de $\varphi ,$ doit seule être admise ; l’équation $s_{\text{ı}}=\theta _{\text{ı}}\sin \varphi _{\text{ı}},$ donnera, par conséquent,

$\theta _{\text{ı}}={\frac {3m{\rm {(C-A)}}c'}{2{\rm {A}}g'-3m{\rm {(C-A)}}}},$

d’où l’on tire

${\rm {\frac {C-A}{A}}}={\frac {2g'\theta _{\text{ı}}}{3m(c'+\theta _{\text{ı}})}}.$

Mayer a trouvé, par ses observations, $\theta _{\text{ı}}=165'\,;$ on a de plus

$c'=\operatorname {tang} 5^{\circ }{,}7188,\quad$et$\quad g'=m.0{,}004019\,;$

partant,

${\rm {\frac {C-A}{A}}}=0{,}000599.$

Les résultats précédents n’ont lieu que dans le cas où les arbitraires ${\rm {P}}$ et ${\rm {P'}}$ sont nulles ; examinons le cas dans lequel ces constantes, sans être nulles, sont très-petites. On a généralement

$\operatorname {tang} (\varphi _{\text{ı}}-mt-g't-{\text{ϐ'}})={\frac {\operatorname {tang} \varphi _{\text{ı}}-\operatorname {tang} (mt+g't+{\text{ϐ'}})}{1+\operatorname {tang} \varphi _{\text{ı}}\operatorname {tang} (mt+g't+{\text{ϐ'}})}}\,;$

en substituant dans le second membre de cette équation, au lieu de $\operatorname {tang} \varphi _{\text{ı}},$ sa valeur complète, et faisant, pour abréger,

${\rm {Q}}={\frac {-3m{\rm {(C-A)}}c'}{2{\rm {A}}g'-3m{\rm {(C-A)}}}},$

on aura

$\operatorname {tang} (\varphi _{\text{ı}}-mt-g't-{\text{ϐ'}})=$

${\frac {\left\{{\begin{aligned}&{\rm {P}}\sin(mt+g't+{\text{ϐ'}}-lt-{\rm {I}})\\+&P'\left({\rm {\sqrt {\frac {A-C}{B-C}}}}+{\frac {1}{2}}\right)\sin(mt+g't+{\text{ϐ'}}-l't-{\rm {I'}})\\\\+&P'\left({\rm {\sqrt {\frac {A-C}{B-C}}}}-{\frac {1}{2}}\right)\sin(mt+g't+{\text{ϐ'}}+l't+{\rm {I'}})\end{aligned}}\right\}}{\left\{{\begin{aligned}&{\rm {Q-P}}\cos(mt+g't+{\text{ϐ'}}-lt-{\rm {I}})\\-&P'\left({\rm {\sqrt {\frac {A-C}{B-C}}}}+{\frac {1}{2}}\right)\cos(mt+g't+{\text{ϐ'}}-l't-{\rm {I'}})\\\\-&P'\left({\rm {\sqrt {\frac {A-C}{B-C}}}}-{\frac {1}{2}}\right)\cos(mt+g't+{\text{ϐ'}}+l't+{\rm {I'}})\end{aligned}}\right\}}}$