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Si l’on nomme $k,m',n',$ relativement à ce nouveau sphéroïde, ce que nous avons nommé $k,m,n,$ dans le n^o 1, par rapport au sphéroïde que nous avons considéré jusqu’ici, la condition que le point attiré est à sa surface, et qu’ainsi $a,b,c$ sont les coordonnées d’un point de cette surface, donnera

$a^{2}+m'b^{2}+n'c^{2}=k'^{2},$

et puisque l’on suppose que les excentricités ${\sqrt {\theta }}$ et ${\sqrt {\varpi }}$ restent les mêmes, on aura

${\frac {1-m'}{m'}}k'^{2}=\theta ,\qquad {\frac {1-n'}{n'}}k'^{2}=\varpi ,$

d’où l’on tire

$m'={\frac {k'^{2}}{k'^{2}+\theta }},\qquad n'={\frac {k'^{2}}{k'^{2}+\varpi }}\,;$

on aura donc, pour déterminer $k$ l’équation

(5)

$a^{2}+{\frac {k'^{2}}{k'^{2}+\theta }}b^{2}+{\frac {k'^{2}}{k'^{2}+\varpi }}c^{2}=k'^{2}.$

Il est aisé d’en conclure qu’il n’y a qu’un sphéroïde dont la surface passe par le point attiré, $\theta$ et $\varpi$ restant les mêmes. Car, si l’on suppose, ce que l’on peut toujours faire, que $\theta$ et $\varpi$ soient positifs, il est clair qu’en faisant croître dans l’équation précédente $k'^{2}$ d’une quantité quelconque, que nous pouvons considérer comme une partie aliquote de $k'^{2}$ chacun des termes du premier membre de cette équation croîtra dans un rapport moindre que $k'^{2}$ ; donc si, dans le premier état de $k'^{2},$ il y avait égalité entre les deux membres de cette équation, cette égalité ne subsistera plus dans le second état, d’où il suit que $k'^{2}$ n’est susceptible que d’une seule valeur réelle et positive.

Maintenant, soit ${\rm {M'}}$ la masse du nouveau sphéroïde ; soient ${\rm {A',B',C'}}$ ses attractions parallèlement aux axes des $a$, des $b$ et des $c$ ; si l’on fait

${\frac {1-m'}{m'}}=\lambda ^{2},\qquad {\frac {1-n'}{n'}}=\lambda '^{2},$

${\rm {F}}=\int {\frac {x^{2}dx}{\sqrt {\left(1+\lambda ^{2}x^{2}\right)\left(1+\lambda '^{2}x^{2}\right)}}},$