ainsi que l’origine de
Nommons
les coordonnées de l’astre
, rapportées au plan de l’équateur de Saturne, l’axe des
étant la ligne d’intersection du plan de l’équateur et de celui de l’anneau ; on aura, entre
les mêmes relations que les précédentes entre
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {X''}}&={\rm {X'\cos \varphi +Y'\sin \varphi -\theta Z'\sin \varphi ,}}\\{\rm {Y''}}&={\rm {Y'\cos \varphi -X'\sin \varphi -\theta Z'\cos \varphi ,}}\\{\rm {Z''}}&={\rm {Z'+\theta Y',}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/552f631ab667c4d211ea81d5f3e001a094ee9602)
et par conséquent,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {X''Y''}}&={\rm {{\frac {Y^{'2}-X^{'2}}{2}}\sin 2\varphi +X'Y'\cos 2\varphi -\theta Z'(Y'\sin 2\varphi +X'\cos 2\varphi ),}}\\{\rm {X''Z''}}&={\rm {Z'Y'\sin \varphi +Z'X'\cos \varphi +\theta \left[\left(Y^{'2}-Z^{'2}\right)\sin \varphi +X'Y'\cos \varphi \right],}}\\{\rm {Y''Z''}}&={\rm {Z'Y'\cos \varphi -Z'X'\sin \varphi +\theta \left[\left(Y^{'2}-Z^{'2}\right)\cos \varphi -X'Y'\sin \varphi \right].}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be59a0b2baf92be6cdba33deb30a1461ba1c0fb1)
Nommons
l’angle que le rayon
forme avec la ligne d’intersection de l’orbite de
et de l’équateur de Saturne ; soient
l’angle que l’intersection du plan de l’anneau et de l’équateur forme avec cette intersection, et
l'inclinaison de l’orbite de
sur le plan de l’équateur de Saturne ; on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {X'}}&=r''\cos v\cos \psi -r''\sin v\cos \theta '\sin \psi ,\\{\rm {Y'}}&=r''\sin v\cos \theta '\cos \psi +r''\cos v\sin \psi ,\\{\rm {Z'}}&=r''\sin v\sin \theta ',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b96ba5030fdee6937485004330d83b010643d8)
ce qui donne, en négligeant les termes dépendants des sinus et cosinus de l’angle
et de ses multiples, et ceux qui dépendent de l’angle
tous ces termes restant insensibles par les intégrations,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {X''Y''}}&=0,\\{\rm {X''Z''}}&={\frac {r'^{'2}}{2}}\sin \theta '\cos \theta '\sin(\varphi -\psi )+{\frac {r'^{'2}\theta }{2}}\left(\cos ^{2}\theta '-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta '\right)\sin \varphi \\&\qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {r'^{'2}}{4}}\theta \sin ^{2}\theta '\sin(\varphi -2\psi ),\\{\rm {Y''Z''}}&={\frac {r'^{'2}}{2}}\sin \theta '\cos \theta '\cos(\varphi -\psi )+{\frac {r'^{'2}\theta }{2}}\left(\cos ^{2}\theta '-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta '\right)\cos \varphi \\&\qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {r'^{'2}}{4}}\theta \sin ^{2}\theta '\cos(\varphi -2\psi ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3045784bc17d01b8d7f832ee3bdf570e627a4be6)