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$a=r\cos \theta ,\qquad b=r\sin \theta \cos \varpi ,\qquad c=r\sin \theta \sin \varpi .$

Si l’on nomme pareillement ${\rm {R}},\theta '$ et $\varpi '$ ce que deviennent $r,\theta$ et $\varpi$ relativement à la molécule $d{\rm {M}}$ du sphéroïde, on aura

$x={\rm {R}}\cos \theta ',\qquad y={\rm {R}}\sin \theta '\cos \varpi ',\qquad z={\rm {R}}\sin \theta '\sin \varpi '.$

D’ailleurs, la molécule $d{\rm {M}}$ du sphéroïde est égale à un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont $d{\rm {R}},{\rm {R}}d\theta ',{\rm {R}}d\varpi '\sin \theta ',$ et par conséquent elle est égale à $\rho {\rm {R}}^{2}d{\rm {R}}d\theta 'd\varpi '\sin \theta ',\ \rho$ étant sa densité ; on aura ainsi

${\rm {V}}=\iiint {\frac {\rho {\rm {R}}^{2}d{\rm {R}}d\theta 'd\varpi '\sin \theta '}{\sqrt {r^{2}-2r{\rm {R}}[\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varpi '-\varpi )]+{\rm {R}}^{2}}}},$

l’intégrale relative à ${\rm {R}}$ devant être prise depuis ${\rm {R=0}}$ jusqu’à la valeur de ${\rm {R}}$ à la surface du sphéroïde ; l’intégrale relative à $\varpi '$ devant être prise depuis $\varpi '=0$ jusqu’à $\varpi '$ égal à la circonférence, et l’intégrale relative à $\theta '$ devant être prise depuis $\theta '=0$ jusqu’à $\theta '$ égal à la demi-circonférence. En différenciant cette expression de ${\rm {V,}}$ on trouvera

(2)

$0={\frac {\partial ^{2}{\rm {V}}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial \theta }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {V}}}{\partial \varpi ^{2}}}{\sin ^{2}\theta }}+r{\frac {\partial ^{2}.r{\rm {V}}}{\partial r^{2}}},$

équation qui n’est que l’équation (1) transformée.

Si l’on fait $\cos \theta =\mu ,$ on peut lui donner cette forme,

(3)

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+r{\frac {\partial ^{2}.r{\rm {V}}}{\partial r^{2}}}.$

Nous sommes déjà parvenus à ces diverses équations dans le second Livre, n^o 11.