Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/47

${\rm {Q}}^{(i)}$ étant, quel que soit $i,$ assujetti à cette équation

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {Q}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {Q}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\rm {Q}}^{(i)}.$

et de plus il est visible que ${\rm {Q}}^{(i)}$ est une fonction rationnelle et entière de $\mu$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos(\varpi '-\varpi )\,;\ {\rm {Q}}^{(i)}$ étant connu, on aura ${\rm {U}}^{(i)}$ au moyen de l’équation

${\rm {U}}^{(i)}=\iiint \rho {\rm {R}}^{i+2}d{\rm {R}}d\varpi 'd\theta '\sin \theta '.{\rm {Q}}^{(i)}.$

Supposons maintenant le point attiré, dans l’intérieur du sphéroïde ; il faut alors développer l’expression intégrale de ${\rm {V}}$ dans une suite ascendante par rapport à $r,$ ce qui donne pour ${\rm {V}}$ une série de cette forme

${\rm {V}}=v^{(0)}+rv^{(1)}+r^{2}v^{(2)}+r^{3}v^{(2)}+\ldots ,$

$v^{(i)}$ étant une fonction rationnelle et entière de ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,$ qui satisfait à la même équation aux différences partielles que ${\rm {U}}^{(i)},$ en sorte que l’on a

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial v^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}v^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)v^{(i)}.$

Pour déterminer $v^{(i)}$ on réduira le radical ${\rm {T}}$ dans une suite ascendante par rapport à $r,$ et l’on aura

${\rm {T}}={\frac {{\rm {Q}}^{(0)}}{\rm {R}}}+{\rm {Q}}^{(1)}{\frac {r}{{\rm {R}}^{2}}}+{\rm {Q}}^{(2)}{\frac {r^{2}}{{\rm {R}}^{3}}}+{\rm {Q}}^{(3)}{\frac {r^{3}}{\rm {R^{4}}}}+\ldots$

les quantités ${\rm {Q^{(0)},Q^{(1)},Q^{(2)},\ldots }}$ étant les mêmes que ci-dessus ; on aura donc

$v^{(i)}=\iiint {\frac {\rho d{\rm {R}}d\varpi 'd\theta '\sin \theta '.{\rm {Q}}^{(i)}}{{\rm {R}}^{i-1}}}$

Mais, comme l’expression précédente de ${\rm {T}}$ n’est convergente qu’au tant que ${\rm {R}}$ est égal ou plus grand que $r$, la valeur précédente de ${\rm {V}}$ n’est relative qu’aux couches du sphéroïde qui enveloppent le point attiré.