et ce second membre se réduit encore à son dernier terme, lorsque l’intégrale est prise depuis
jusqu’à
, parce que les valeurs de
et
sont les mêmes à ces deux limites ; on aura donc ainsi
![{\displaystyle \iint {\rm {Y}}^{(i)}{\rm {Z}}^{(i')}d\mu d\varpi =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6cb15fbf10383055ee02a4f86d5a9540f822d6)
![{\displaystyle {\frac {1}{i(i+1)}}\iint {\rm {Y}}^{(i)}d\mu d\varpi \left({\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial {\rm {Z}}^{(i')}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}{\rm {Z}}^{(i')}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}},\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2561577f6720cf0262519930f28c3bd2c4007a64)
d’où l’on tire, en vertu de la seconde des deux équations précédentes aux différences partielles.
![{\displaystyle \iint {\rm {Y}}^{(i)}{\rm {Z}}^{(i')}d\mu d\varpi ={\frac {i'(i'+1)}{i(i+1)}}\iint {\rm {Y}}^{(i)}{\rm {Z}}^{(i')}d\mu d\varpi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a33ea559815374e6a1fbcdae98babc479a72008)
on a donc
![{\displaystyle 0=\iint {\rm {Y}}^{(i)}{\rm {Z}}^{(i')}d\mu d\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9880ce143347856dfa9ad5982f4c12e94c2df4)
lorsque
est différent de ![{\displaystyle i'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5b3a8798956e35d0b8dcb6a6986a7a3a412e4d5)
De là il est aisé de conclure que
ne peut se développer que d’une seule manière dans une série de la forme
car on a généralement
![{\displaystyle \iint y{\rm {Z}}^{(i)}d\mu d\varpi =\iint {\rm {Y}}^{(i)}{\rm {Z}}^{(i)}d\mu d\varpi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79090eb5c1ed84fa91e475185a7c0d30e0dc3878)
si l’on pouvait développer
dans une autre série
de la même forme, on aurait
![{\displaystyle \iint y{\rm {Z}}^{(i)}d\mu d\varpi =\iint {\rm {Y}}_{\text{ı}}^{(i)}{\rm {Z}}^{(i)}d\mu d\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d032149426dd0c30ea825a8d882168d7e82e29f4)
partant
![{\displaystyle \iint {\rm {Y}}_{\text{ı}}^{(i)}{\rm {Z}}^{(i)}d\mu d\varpi =\iint {\rm {Y}}^{(i)}{\rm {Z}}^{(i)}d\mu d\varpi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b7a1175f724e81d9afe6686b884b67d3a3da9a)
or il est facile de voir que, si l’on prend pour
la fonction la plus générale de son espèce, l’équation précédente ne peut subsister que dans le cas où
la fonction
ne peut donc se développer ainsi que d’une seule manière.
Si dans l’intégrale
on substitue pour
sa valeur
![{\displaystyle {\rm {Y}}^{(0)}+{\rm {Y}}^{(1)}+{\rm {Y}}^{(2)}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a642428fc2b2a0545be67f7a6e6fa001d600bb8c)
on aura généralement
![{\displaystyle 0=\iint {\rm {Y}}^{(i)}d\mu d\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d87877c7f314fa79b2c76d61bceacbb7eedd6010)