et ce second membre se réduit encore à son dernier terme, lorsque l’intégrale est prise depuis jusqu’à , parce que les valeurs de et sont les mêmes à ces deux limites ; on aura donc ainsi
d’où l’on tire, en vertu de la seconde des deux équations précédentes aux différences partielles.
on a donc
lorsque est différent de
De là il est aisé de conclure que ne peut se développer que d’une seule manière dans une série de la forme car on a généralement
si l’on pouvait développer dans une autre série de la même forme, on aurait
partant
or il est facile de voir que, si l’on prend pour la fonction la plus générale de son espèce, l’équation précédente ne peut subsister que dans le cas où la fonction ne peut donc se développer ainsi que d’une seule manière.
Si dans l’intégrale on substitue pour sa valeur
on aura généralement