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La différence $d{\rm {R}}$ étant prise en supposant $\mu '$ et $\varpi '$ constants, on aura $d{\rm {R}}={\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial a}}da\,;$ partant

${\rm {U}}^{(i)}={\frac {1}{i+3}}\iiint \rho {\frac {\partial .{\rm {R}}^{i+3}}{\partial a}}dad\mu 'd\varpi '.{\rm {Q}}^{(i)}.$

Concevons ${\rm {R}}^{i+3}$ développé dans une suite de cette forme

${\rm {Z'^{0}+Z'^{1}+Z'^{2}+Z'^{3}+\ldots ,}}$

${\rm {Z'^{i}}}$ étant, quel que soit $i,$ une fonction rationnelle et entière de $\mu ',{\sqrt {1-\mu '^{2}}}\sin \varpi '$ et ${\sqrt {1-\mu '^{2}}}\cos \varpi ',$ qui satisfait à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ''^{2}\right){\dfrac {\partial {\rm {Z'}}^{(i)}}{\partial \mu '}}}{\partial \mu '}}+{\frac {\dfrac {\partial ^{2}{\rm {Z'}}^{(i)}}{\partial \varpi '^{2}}}{1-\mu '^{2}}}+i(i+1){\rm {Z'}}^{(i)}.$

La différence de ${\rm {Z'}}^{(i)}$ prise par rapport à $a$ satisfait encore à cette équation, et par conséquent elle est de la même forme ; on ne doit donc, en vertu du théorème général du n^o 12, considérer que le terme ${\rm {Z'}}^{(i)}$ dans le développement de ${\rm {R}}^{(i+3)}$ et alors on a

${\rm {U}}^{(i)}={\frac {1}{i+3}}\iiint \rho {\frac {\partial .{\rm {Z'}}^{i}}{\partial a}}dad\mu 'd\varpi '.{\rm {Q}}^{(i)}.$

Lorsque le sphéroïde est homogène et peu différent d’une sphère, on peut supposer $\rho =1$ et ${\rm {R}}=a(1+\alpha y')\,;$ on a alors, en intégrant par rapport à $a,$

${\rm {U}}^{(i)}={\frac {1}{i+3}}\iint {\rm {Z'}}^{i}d\mu 'd\varpi '.{\rm {Q}}^{(i)}.$

De plus, si l’on suppose $y'$ développé dans une suite de la forme

${\rm {Y'^{(0)}+Y'^{(1)}+Y'^{(2)}+Y'^{(3)}+\ldots ,}}$

${\rm {Y}}'^{i}$ satisfaisant à la même équation aux différences partielles que ${\rm {Z}}'^{i},$ on aura, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},\ {\rm {Z}}'^{i}=(i+3)\alpha a^{i+3}{\rm {Y}}'^{i}\,;$ on aura donc

${\rm {U}}^{(i)}=\alpha a^{i+3}\iint {\rm {Y'}}^{i}d\mu 'd\varpi '.{\rm {Q}}^{(i)}.$