20. Si l’équation (2) du no 18 était susceptible de plusieurs racines réelles, plusieurs figures d’équilibre conviendraient au même mouvement de rotation ; voyons donc si cette équation a plusieurs racines réelles. Pour cela, nommons la fonction dont l’égalité à zéro produit l’équation (2). Il est facile de voir qu’en faisant croître depuis zéro jusqu’à l’infini, l’expression de commence et finit par être positive ; ainsi, en imaginant une courbe dont soit l’abscisse et dont soit l’ordonnée, cette courbe coupera son axe lorsque ; les ordonnées seront ensuite positives et croissantes ; parvenues à leur maximum, elles diminueront ; la courbe coupera une seconde fois son axe, à un point qui déterminera la valeur de correspondante à l’état d’équilibre de la masse fluide ; les ordonnées seront ensuite négatives, et, puisqu’elles sont positives lorsque il est nécessaire que la courbe coupe une troisième fois son axe, ce qui détermine une seconde valeur de qui satisfait à l’équilibre. On voit ainsi que, pour une même valeur de ou pour un mouvement de rotation donné, il y a plusieurs figures avec lesquelles l’équilibre peut subsister.
Pour déterminer le nombre de ces figures, nous observerons que l’on a
![{\displaystyle d\varphi ={\frac {6\lambda ^{2}d\lambda \left[q\lambda ^{4}+(10q-6)\lambda ^{2}+9q\right]}{\left(3\lambda ^{2}+9\right)^{2}\left(1+\lambda ^{2}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f40fe3a240628d91db2b6055916be6ce2a7fba6)
La supposition de donne
d’où l’on tire, en ne considérant que les valeurs positives de
Ces valeurs de déterminent les maxima et les minima de l’ordonnée ; il n’y a donc que deux ordonnées semblables du côté des abscisses positives, ce qui exige que de ce côté la courbe ne coupe son axe qu’en trois points, en y comprenant l’origine ; ainsi le nombre des figures qui satisfont à l’équilibre se réduit à deux.
