cette valeur de
substituée dans l’équation précédente, donne
Ainsi le rapport des deux axes de l’équateur et du pôle, rapport qui est égal à
est, dans le cas du sphéroïde très-aplati, égal à ![{\displaystyle 680{,}49.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1464275eea6503a2e737de41a4fd23a7201d959f)
La valeur de
à une limite au delà de laquelle l’équilibre est impossible avec une figure elliptique. Supposons, en effet, que la courbe ne coupe son axe qu’à son origine, et qu’elle ne fasse que le toucher ailleurs ; on aura à ce point de contact
et
; la valeur de
ne sera donc jamais négative du côté des abscisses positives, les seules que nous considérons ici. La valeur de
déterminée par les deux équations
sera donc la limite de celles avec lesquelles l’équilibre peut subsister, en sorte qu’une plus grande valeur rend l’équilibre impossible ; car,
étant supposé croître de
la fonction
augmente du terme
ainsi, la valeur de
correspondante à
n’étant jamais négative, quel que soit
la même fonction correspondante à
est constamment positive, et ne peut jamais devenir nulle ; l’équilibre est donc alors impossible. Il résulte encore de cette analyse qu’il n’y a qu’une seule valeur réelle et positive de
qui satisfasse aux deux équations
et
Ces équations donnent les suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}q&={\frac {6\lambda ^{2}}{\left(1+\lambda ^{2}\right)\left(9+\lambda ^{2}\right)}},\\\\0&={\frac {7\lambda ^{5}+30\lambda ^{3}+27\lambda }{\left(1+\lambda ^{2}\right)\left(3+\lambda ^{2}\right)\left(9+\lambda ^{2}\right)}}-\operatorname {arctang} \lambda .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ceaf7b5dd9351278bad51d9c4fbb66a917d530b)
La valeur de
qui satisfait à cette dernière équation est
d’où l’on tire
la quantité
qui exprime le rapport de l’axe de l’équateur à celui du pôle est, dans ce cas, égale à ![{\displaystyle 2{,}7197.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95a9b0bca22d7a504f06e7adddf285b3d03d54eb)
La valeur de
relativement à la Terre est égale à
Cette valeur répond à une durée de rotation de
; or on a généralement
en sorte que, par rapport aux masses de même densité.