En réunissant tous ces termes, on aura, dans les éclipses, où l’on peut supposer ![{\displaystyle 2{\rm {U}}=2v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/711ae78709e47996eb65423d35b488bf1f936b87)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}s=&&3^{\circ }{,}43267&.\sin(v+&51^{\circ }{,}3787&-t.&153''&{,}8\ \ )\\-&&105''{,}04&.\sin(v+&303^{\circ }{,}76542&+t.&133715''&{,}77)\\-&&25''{,}49&.\sin(v+&208^{\circ }{,}32562&+t.&28220''&{,}85).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d69e5f08bd7da4dd535a8f1e9b33399d46a1f20c)
Pour avoir la durée des éclipses du premier satellite, nous reprendrons la formule du no 26,
![{\displaystyle t={\rm {T(1-X)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c121af31a75b3feeb361f0a8822b60a49fe0c4d9)
![{\displaystyle \times \left\{-(1+\rho ')^{2}{\frac {s}{\text{ϐ}}}{\frac {ds}{dv}}\pm {\sqrt {\left[1+{\frac {1}{2}}{\rm {X}}+(1+\rho '){\frac {s}{\text{ϐ}}}\right]\left[1+{\frac {1}{2}}{\rm {X}}-(1+\rho '){\frac {s}{\text{ϐ}}}\right]}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21b6451548fe519dc74305e182ae86f101cba5a7)
Dans cette formule,
est la demi-durée moyenne des éclipses du satellite dans ses nœuds. Delambre a trouvé cette demi-durée, depuis l’invention des lunettes achromatiques, égale à
secondes. Nous supposerons donc à
cette valeur, ϐ est le moyen mouvement synodique du satellite pendant le temps
, et l’on trouve
La valeur de
est ici
La valeur de
est, par le no 26, à très-peu près égale à
et, par conséquent, en ne considérant que le plus grand terme de
on a, à fort peu près,
![{\displaystyle {\rm {X=0{,}0079334.\cos 2(\theta -\theta ').}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/190f80843316f4c1aae9e51f80cde755810f16a1)
Nommons
la valeur de
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\zeta =&&0{,}345364.\sin(v+&&51^{\circ }{,}3787\ \ &-t.&153''{,}8\ \ )\\-&&0{,}001057.\sin(v+&&303^{\circ }{,}76542&+t.&133715''{,}77)\\-&&0{,}000256.\sin(v+&&208^{\circ }{,}32562&+t.&28220''{,}85).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8f3ebe2b650681dc31aeec1e7478b4f41cce1d)
Cela posé, on aura
![{\displaystyle t=-788''{,}55.\zeta {\frac {d\zeta }{dv}}\pm 4713''.{\rm {(1-X){\sqrt {1+X-\zeta ^{2}}},}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cbe7e1ea4f7164e9bc2948eaea01f22fd8b73c8)
et la durée entière de l’éclipse sera
![{\displaystyle 9426''.{\rm {(1-X){\sqrt {1+X-\zeta ^{2}}}.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0059a42df688a2e14eef3b49d1be142c398aed00)