En intégrant et regardant
et
comme constants, on aura
![{\displaystyle \sin \varpi ={\frac {b}{\sqrt {p-q\cos 2\Pi }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/947dac0788f7f16fcb347da43ba802fb7aa73a3c)
étant une constante arbitraire ; l’expression précédente de
donnera donc
![{\displaystyle dv={\frac {d\Pi }{\sqrt {(p-q\cos 2\Pi )\left(p-b^{2}-q\cos 2\Pi \right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e91cb77d9b2d7f3fa5cdcc620094cf04d436ae1)
équation différentielle dont l’intégration dépend de la rectification des sections coniques. On peut la mettre sous une forme plus simple, en faisant
![{\displaystyle \operatorname {tang} \Pi ={\sqrt {\frac {p-q}{p+q}}}\operatorname {tang} \Pi '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/234978ce96391a01b902f600a2176b913bc1c983)
elle devient alors
![{\displaystyle dv={\frac {d\Pi '}{{\sqrt {p^{2}-q^{2}}}{\sqrt {1-{\cfrac {b^{2}p}{p^{2}-q^{2}}}-{\cfrac {b^{2}q}{p^{2}-q^{2}}}\cos 2\Pi '}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f7cbb3759e426ee7f86733597cd042c1341ad1d)
Cette équation donne, en intégrant, l’expression de
en
On aura ensuite, par le no 22 du Livre II,
![{\displaystyle \Pi =\Pi '-{\text{ϐ}}\sin 2\Pi '+{\frac {{\text{ϐ}}^{2}}{2}}\sin 4\Pi '-{\frac {{\text{ϐ}}^{3}}{3}}\sin 6\Pi '+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7df127c204242fa512fc28c710cc9e7cf4a9a618)
ϐ étant déterminé par l’équation
![{\displaystyle {\text{ϐ}}={\frac {q}{p+{\sqrt {p^{2}-q^{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5456d28767b3b6d796338609890e1af88c605747)
36. Pour appliquer des nombres à ces formules, il faut connaître les valeurs de
et de
Celle de
est facile à déterminer, car l’attraction
du Soleil sur Saturne est égale à la force centrifuge due au mouvement de Saturne dans son orbite, et cette force est égale au carré de la vitesse, divisé par le rayon ; en nommant donc
la durée de la révolution sidérale de Saturne et
la demi-circonférence dont le rayon