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La valeur de ${\rm {R}}$ donne

${\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}={\frac {m'x'}{r'^{3}}}-{\frac {m'(x'-x)}{f^{3}}},$

$f$ étant supposé égal à ${\sqrt {\left[(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}.$ On a pareillement

${\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}={\frac {m'y'}{r'^{3}}}-{\frac {m'(y'-y)}{f^{3}}}.$

Cela posé, la valeur de $dl$ donnera

${\begin{aligned}de=&-m'adu{\sqrt {1-e^{2}}}\cos u(xy'-x'y)\left({\frac {1}{r'^{3}}}-{\frac {1}{f^{3}}}\right)\\\\&-m'a^{2}du{\sqrt {1-e^{2}}}(1-e\cos u)\left({\frac {y'}{r'^{3}}}-{\frac {y'-y}{f^{3}}}\right).\end{aligned}}$

La valeur de $dh$ donnera pareillement

${\begin{aligned}ed\varpi =&-m'adu\sin u(xy'-x'y)\left({\frac {1}{r'^{3}}}-{\frac {1}{f^{3}}}\right)\\\\&+m'a^{2}du{\sqrt {1-e^{2}}}(1-e\cos u)\left({\frac {x'}{r'^{3}}}-{\frac {x'-x}{f^{3}}}\right).\end{aligned}}$

Par le n^o 64 du Livre II, on a, dans l’ellipse variable, et en observant que $\mu$ est à très-peu près égale à l’unité,

$d{\frac {1}{a}}=2\operatorname {d} {\rm {R,}}$

la caractéristique différentielle $\operatorname {d}$ ne se rapportant qu’aux seules coordonnées de $m.$ En négligeant le carré de $z,$ on a

$\operatorname {d} {\rm {R={\frac {m'(x'dx+y'dy)}{r'^{3}}}-{\frac {m'\left[(x'-x)dx+(y'-y)dy)\right]}{f^{3}}},}}$

et par conséquent

$\operatorname {d} {\rm {R}}=-m'adu\sin u\left({\frac {x'}{r'^{3}}}-{\frac {x'-x}{f^{3}}}\right)$

$+m'adu{\sqrt {1-e^{2}}}\cos u\left({\frac {y'}{r'^{3}}}-{\frac {y'-y}{f^{3}}}\right),$

d’où l’on tire

$da=2m'a^{3}du\sin u\left({\frac {x'}{r'^{3}}}-{\frac {x'-x}{f^{3}}}\right)$

$-2m'a^{3}du{\sqrt {1-e^{2}}}\cos u\left({\frac {y'}{r'^{3}}}-{\frac {y'-y}{f^{3}}}\right).$