La valeur de
donne
![{\displaystyle {\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}={\frac {m'x'}{r'^{3}}}-{\frac {m'(x'-x)}{f^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b522770b826df53e84aa3a500f0c7c74cc5578f)
étant supposé égal à
On a pareillement
![{\displaystyle {\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}={\frac {m'y'}{r'^{3}}}-{\frac {m'(y'-y)}{f^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167c883158fee2ba2eb8ce0154179d68632353ea)
Cela posé, la valeur de
donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}de=&-m'adu{\sqrt {1-e^{2}}}\cos u(xy'-x'y)\left({\frac {1}{r'^{3}}}-{\frac {1}{f^{3}}}\right)\\\\&-m'a^{2}du{\sqrt {1-e^{2}}}(1-e\cos u)\left({\frac {y'}{r'^{3}}}-{\frac {y'-y}{f^{3}}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c50f66cd3e550cc9fade19691089bfd3bf06e332)
La valeur de
donnera pareillement
![{\displaystyle {\begin{aligned}ed\varpi =&-m'adu\sin u(xy'-x'y)\left({\frac {1}{r'^{3}}}-{\frac {1}{f^{3}}}\right)\\\\&+m'a^{2}du{\sqrt {1-e^{2}}}(1-e\cos u)\left({\frac {x'}{r'^{3}}}-{\frac {x'-x}{f^{3}}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fff63edd663a098eeca503e10ab9c5a26aa30651)
Par le no 64 du Livre II, on a, dans l’ellipse variable, et en observant que
est à très-peu près égale à l’unité,
![{\displaystyle d{\frac {1}{a}}=2\operatorname {d} {\rm {R,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/279076ba49d29f3404ded78aafbc35d472200dae)
la caractéristique différentielle
ne se rapportant qu’aux seules coordonnées de
En négligeant le carré de
on a
![{\displaystyle \operatorname {d} {\rm {R={\frac {m'(x'dx+y'dy)}{r'^{3}}}-{\frac {m'\left[(x'-x)dx+(y'-y)dy)\right]}{f^{3}}},}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf989a70b76f101175b06ad6eaadec7fcbbf29d1)
et par conséquent
![{\displaystyle \operatorname {d} {\rm {R}}=-m'adu\sin u\left({\frac {x'}{r'^{3}}}-{\frac {x'-x}{f^{3}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd30e0b3299d92c6de8cea25ce4d2f5e915fbfa)
![{\displaystyle +m'adu{\sqrt {1-e^{2}}}\cos u\left({\frac {y'}{r'^{3}}}-{\frac {y'-y}{f^{3}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0221cf8b9b56935255fb4ad141372fa63cc4ca4e)
d’où l’on tire
![{\displaystyle da=2m'a^{3}du\sin u\left({\frac {x'}{r'^{3}}}-{\frac {x'-x}{f^{3}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169977e6e10b34ff359924ee717fb1fc1c541c3a)
![{\displaystyle -2m'a^{3}du{\sqrt {1-e^{2}}}\cos u\left({\frac {y'}{r'^{3}}}-{\frac {y'-y}{f^{3}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/168fe1975c187f63579c73518756b3b27521d075)