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Ces deux équations donnent les valeurs de $de$ et de $d\varpi ,$ car on a

${\begin{aligned}de=&dh\sin \varpi +dl\cos \varpi ,\\ed\varpi =&dh\cos \varpi -dl\sin \varpi ,\end{aligned}}$

et, si pour plus de simplicité on prend la ligne même des apsides pour l’axe des $x$, on aura

$de=dl,\qquad ed\varpi =dh.$

Les équations du mouvement elliptique donnent, par le n^o 20 du Livre II,

(O)

$\left\{{\begin{aligned}\int ndt+\varepsilon -\varpi =&u-e\sin u,\\r=&a(1-e\cos u),\\\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(v-\varpi )=&{\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u,\\n=&{\frac {\sqrt {\mu }}{a^{\frac {3}{2}}}}.\end{aligned}}\right.$

$\int ndt+\varepsilon$ est la longitude moyenne de la comète ; $\int ndt+\varepsilon -\varpi$ est son anomalie moyenne ; $v-\varpi$ est son anomalie vraie et $u$ est son anomalie excentrique, $x$ et $y$ étant les coordonnées de $m,$ si l’on prend la ligne des apsides pour l’axe des abscisses et si l’on compte les $x$ du foyer vers le périhélie, on aura

$x=r\cos(v-\varpi ),\qquad y=r\sin(v-\varpi ).$

La seconde et la troisième des équations précédentes (O) donnent ainsi

$x=a\cos u-ae,\qquad y=a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin u.$

Si l’on nomme ensuite $\lambda$ l’inclinaison de l’orbite de la planète $m'$ sur celle de la comète, et $\gamma$ la longitude de son nœud ascendant comptée de l’axe des apsides ; si, de plus, on désigne par $v'$ l’angle que le rayon $r'$ fait avec la ligne des nœuds, on aura

${\begin{aligned}x'=&r'\cos \gamma \cos v'-r'\sin \gamma \cos \lambda \sin v',\\y'=&r'\sin \gamma \cos v'+r'\cos \gamma \cos \lambda \sin v',\\z'=&r'\sin \lambda \sin v'.\end{aligned}}$