Ces deux équations donnent les valeurs de
et de
car on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}de=&dh\sin \varpi +dl\cos \varpi ,\\ed\varpi =&dh\cos \varpi -dl\sin \varpi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/095f69b98ce966d583a3075df1f5fd8096a3aaae)
et, si pour plus de simplicité on prend la ligne même des apsides pour l’axe des
, on aura
![{\displaystyle de=dl,\qquad ed\varpi =dh.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7896c344512612f944bf0a9088401dbc574664a6)
Les équations du mouvement elliptique donnent, par le no 20 du Livre II,
(O)
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est la longitude moyenne de la comète ;
est son anomalie moyenne ;
est son anomalie vraie et
est son anomalie excentrique,
et
étant les coordonnées de
si l’on prend la ligne des apsides pour l’axe des abscisses et si l’on compte les
du foyer vers le périhélie, on aura
![{\displaystyle x=r\cos(v-\varpi ),\qquad y=r\sin(v-\varpi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13e2caa5affc18fe0e48bee30f0bda34567e0301)
La seconde et la troisième des équations précédentes (O) donnent ainsi
![{\displaystyle x=a\cos u-ae,\qquad y=a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c9ba289d6c1a4f9925c677b4a9f2b193b1f600)
Si l’on nomme ensuite
l’inclinaison de l’orbite de la planète
sur celle de la comète, et
la longitude de son nœud ascendant comptée de l’axe des apsides ; si, de plus, on désigne par
l’angle que le rayon
fait avec la ligne des nœuds, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'=&r'\cos \gamma \cos v'-r'\sin \gamma \cos \lambda \sin v',\\y'=&r'\sin \gamma \cos v'+r'\cos \gamma \cos \lambda \sin v',\\z'=&r'\sin \lambda \sin v'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3050f4fc45546993902eac47bd0e6521d4b4e70b)