11. Développons cette hypothèse, et déterminons les nouveaux éléments de l’orbite de la comète au sortir de la sphère d’attraction de la planète. Pour cela, commençons par déterminer les éléments de l’orbite relative de la comète autour de la planète dans cette sphère d’attraction. On a, par le no 18 du Livre II, les six équations suivantes :
![{\displaystyle c_{1}={\frac {x_{1}dy_{1}-y_{1}dx_{1}}{dt}},\quad c_{1}'={\frac {x_{1}dz_{1}-z_{1}dx_{1}}{dt}},\quad c_{1}''={\frac {y_{1}dz_{1}-z_{1}dy_{1}}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ca514db5a8dc6054eec777186a4fc7dce8a2c2c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}=&-{\frac {m'y_{1}}{f}}+{\frac {y_{1}\left(dx_{1}^{2}+dz_{1}^{2}\right)}{dt^{2}}}-{\frac {x_{1}dx_{1}dy_{1}}{dt^{2}}}-{\frac {z_{1}dz_{1}dy_{1}}{dt^{2}}},\\l_{1}=&-{\frac {m'x_{1}}{f}}+{\frac {x_{1}\left(dy_{1}^{2}+dz_{1}^{2}\right)}{dt^{2}}}-{\frac {y_{1}dy_{1}dx_{1}}{dt^{2}}}-{\frac {z_{1}dz_{1}dx_{1}}{dt^{2}}},\\{\frac {m'}{a_{1}}}=&{\frac {2m'}{f}}-{\frac {dx_{1}^{2}+dy_{1}^{2}+dz_{1}^{2}+}{dt^{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6345cc9bfa0d9a1856a8ced3c554dbbc0965f44c)
étant des constantes arbitraires. Si l’on nomme la longitude du nœud ascendant de l’orbite relative, comptée de l’axe des
, et
l’inclinaisonde cette orbite sur le plan des
et des
on aura, par le no 19 du Livre II,
![{\displaystyle \operatorname {tang} \theta ={\frac {c_{1}''}{c'_{1}}},\qquad \operatorname {tang} \varphi ={\frac {\sqrt {c_{1}^{'2}+c_{1}^{''2}}}{c_{1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a71b8428d8d023838b79c16e9309449a71a5dfc)
étant donnés par ce qui précède, en fonction des valeurs de
à l’entrée de la comète dans la sphère d’activité de la planète, valeurs qui sont supposées connues ; on connaîtra donc ainsi les valeurs de
et de ![{\displaystyle \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b6c90c1e9984232aed2d530ac2fb2660ea000a)
Si l’on nomme ensuite
la longitude de la projection du périhélie, on aura, par le même numéro,
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\rm {I}}={\frac {h_{1}}{l_{1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90141f53e9c7cff9474014ffea2b47633d8883f7)
étant le demi-grand axe, il sera donné par ce qui précède. On a ensuite, par le numéro cité,
![{\displaystyle m'a_{1}\left(1-e_{1}^{2}\right)=2m'f-{\frac {m'f^{2}}{a_{1}}}-{\frac {f^{2}df^{2}}{dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c30b3ef4ce910edc15840d56d0eb58099b9d2fe)