Les équations précédentes donnent encore
(S)
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Si l’on désigne par
les valeurs de
à l’entrée de la comète dans la sphère d’activité de la planète, et si l’on désigne par les mêmes lettres surmontées de deux traits les mêmes quantités à sa sortie, on aura évidemment
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\overline {x'''_{1}}}=&{\overline {\overline {x'''_{1}}}},&{\overline {y'''_{1}}}=&{\overline {\overline {y'''_{1}}}}\\{\frac {\overline {dx'''_{1}}}{dt}}=&-{\frac {\overline {\overline {dx'''_{1}}}}{dt}},\qquad &{\frac {\overline {dy'''_{1}}}{dt}}=&{\frac {\overline {\overline {dy'''_{1}}}}{dt}}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1086429d3cb93789aa16c475194ed6358a6f8a8)
Au moyen de ces équations, on aura d’abord les valeurs de ![{\displaystyle {\overline {\overline {x'''_{1}}}},{\overline {\overline {y'''_{1}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e4b77f2b93fb31b07df38e6384c4cf472cb466)
en fonction des valeurs de
à l’entrée dans la sphère d’activité, et l’on en conclura, par les équations (S) et leurs différentielles, les valeurs de
à la sortie, en fonction de leurs valeurs à l’entrée. En ajoutant ensuite à ces valeurs les valeurs de
correspondantes à la sortie, on aura les valeurs correspondantes de
et par conséquent on aura, au moyen des formules des no 18 et 19 du Livre II, les nouveaux éléments de l’orbite de la comète. Pour avoir les valeurs de
et de leurs différentielles au sortir de la sphère d’activité, il faut connaître le temps que la comète emploie à traverser cette sphère, et cela est facile par les formules du mouvement elliptique, exposées dans le Chapitre III du Livre II.
12. Dans le cas où les variations
sont très-petites, comme cela a eu lieu par rapport au mouvement de la comète de 1770 troublé